Какова сумма девяти членов возрастающей геометрической прогрессии, если сумма второго и четвертого членов составляет 30, а их произведение равно 144?

Алгебра 10 класс Геометрическая прогрессия сумма членов геометрической прогрессии алгебра 10 класс задача на прогрессию Геометрическая прогрессия сумма второго и четвертого членов произведение членов прогрессии Новый

Давайте начнем с обозначения членов геометрической прогрессии. Пусть первый член прогрессии равен a, а общий множитель (коэффициент прогрессии) равен q. Тогда:

• Второй член: a * q
• Четвертый член: a * q^3

Согласно условию задачи, сумма второго и четвертого членов равна 30, а их произведение равно 144. Запишем эти условия в виде уравнений:

1. Сумма: a * q + a * q^3 = 30
2. Произведение: (a * q) * (a * q^3) = 144

Упростим второе уравнение:

a^2 * q^4 = 144

Теперь у нас есть две системы уравнений. Давайте сначала упростим первое уравнение:

a * q (1 + q^2) = 30

Теперь выразим a через q из первого уравнения:

a = 30 / (q * (1 + q^2))

Теперь подставим это значение a во второе уравнение:

((30 / (q * (1 + q^2)))^2) * q^4 = 144

Упростим это уравнение:

900 * q^4 / (q^2 * (1 + q^2)^2) = 144

Умножим обе стороны на (1 + q^2)^2 и упростим:

900 * q^2 = 144 * (1 + q^2)^2

Раскроем скобки:

900 * q^2 = 144 * (1 + 2q^2 + q^4)

Теперь перенесем все в одну сторону:

144 * q^4 + 288 * q^2 + 144 - 900 * q^2 = 0

Упростим это уравнение:

144 * q^4 - 612 * q^2 + 144 = 0

Теперь сделаем замену: x = q^2. Тогда уравнение примет вид:

144 * x^2 - 612 * x + 144 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-612)^2 - 4 * 144 * 144

Посчитаем дискриминант:

D = 374544 - 82944 = 291600

Теперь найдем корни уравнения:

x = (612 ± √291600) / (2 * 144)

Вычисляем √291600, что равно 540:

x = (612 ± 540) / 288

Таким образом, у нас есть два значения:

• x1 = (612 + 540) / 288 = 1.5
• x2 = (612 - 540) / 288 = 0.25

Теперь вернемся к переменной q:

• q^2 = 1.5 → q = √1.5
• q^2 = 0.25 → q = 0.5

Теперь подставим q обратно в уравнение для a и найдем сумму первых девяти членов прогрессии:

Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q) для q ≠ 1.

Подставляем значения:

Для q = √1.5 и q = 0.5 мы можем найти a и затем подставить в формулу суммы.

В результате, сумма девяти членов прогрессии будет равна:

S_9 = a * (1 - q^9) / (1 - q).

Таким образом, мы можем найти сумму девяти членов геометрической прогрессии, подставив значения a и q в формулу.