Каковы корни уравнения 2 tg²x=(1/cos²x)-1?

Алгебра 10 класс Тригонометрические уравнения корни уравнения алгебра 10 класс решение уравнений тригонометрические функции tg2x cos2x математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение 2 tg²x = (1/cos²x) - 1, начнем с преобразования правой части уравнения. Напомним, что tg²x можно выразить через sin²x и cos²x:

• tg²x = sin²x / cos²x.

Также мы знаем, что:

• (1 / cos²x) - 1 = (1 - cos²x) / cos²x = sin²x / cos²x.

Теперь подставим это в уравнение:

2 tg²x = 2 (sin²x / cos²x).

Таким образом, уравнение можно переписать следующим образом:

2 (sin²x / cos²x) = (sin²x / cos²x).

Теперь мы можем сократить обе стороны уравнения на sin²x / cos²x (при условии, что sin²x / cos²x не равно нулю):

2 = 1.

Это уравнение не имеет смысла, поэтому нам нужно вернуться к исходному уравнению и рассмотреть случай, когда sin²x / cos²x равно нулю.

Синус равен нулю, когда:

• x = nπ, где n – целое число.

Теперь проверим, есть ли другие возможные решения. Если мы вернемся к уравнению:

2 tg²x = (1/cos²x) - 1,

то его можно упростить до:

2 tg²x + 1 = 1/cos²x.

Теперь, если мы подставим tg²x = sin²x / cos²x, то получим:

2 (sin²x / cos²x) + 1 = 1/cos²x.

Умножим обе стороны на cos²x:

2 sin²x + cos²x = 1.

Теперь используем основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1:

2 sin²x + (1 - sin²x) = 1.

Это упрощается до:

2 sin²x - sin²x = 0,

или:

sin²x = 0.

Таким образом, корни нашего уравнения:

• x = nπ, где n – целое число.

Это и есть все корни уравнения 2 tg²x = (1/cos²x) - 1.