Чтобы решить квадратное неравенство 3x² - 5x + 2 ≥ 0, нам нужно сначала найти корни соответствующего квадратного уравнения 3x² - 5x + 2 = 0. Для этого мы используем дискриминант.

Шаг 1: Найдем дискриминант.

Формула для дискриминанта D выглядит следующим образом:

D = b² - 4ac,

где a = 3, b = -5, c = 2.

Подставим значения:

• D = (-5)² - 4 * 3 * 2
• D = 25 - 24
• D = 1.

Так как дискриминант положителен (D > 0), уравнение имеет два различных корня.

Шаг 2: Найдем корни уравнения.

Корни квадратного уравнения можно найти по формуле:

x₁,₂ = (-b ± √D) / 2a.

Подставим значения:

• x₁ = (5 + √1) / (2 * 3) = (5 + 1) / 6 = 6 / 6 = 1,
• x₂ = (5 - √1) / (2 * 3) = (5 - 1) / 6 = 4 / 6 = 2/3.

Таким образом, корни уравнения: x₁ = 1 и x₂ = 2/3.

Шаг 3: Построим числовую прямую и определим интервалы.

На числовой прямой у нас есть три интервала, которые мы должны проверить:

• (-∞, 2/3),
• (2/3, 1),
• (1, +∞).

Шаг 4: Проверим знак выражения в каждом интервале.

• Для интервала (-∞, 2/3): возьмем, например, x = 0.
• 3(0)² - 5(0) + 2 = 2 ≥ 0 (истинно).
• Для интервала (2/3, 1): возьмем, например, x = 0.8.
• 3(0.8)² - 5(0.8) + 2 = 1.92 - 4 + 2 = -0.08 < 0 (ложно).
• Для интервала (1, +∞): возьмем, например, x = 2.
• 3(2)² - 5(2) + 2 = 12 - 10 + 2 = 4 ≥ 0 (истинно).

Шаг 5: Запишем ответ.

Таким образом, неравенство 3x² - 5x + 2 ≥ 0 выполняется на интервалах:

x ∈ (-∞, 2/3] ∪ [1, +∞).

Ответ: x ∈ (-∞, 2/3] ∪ [1, +∞).