Чтобы определить, сколько существует натуральных чисел x, при которых дробь (x(8 - x))/6 будет правильной, сначала нужно понять, что такое правильная дробь. Правильная дробь — это дробь, числитель которой меньше знаменателя.

В нашем случае дробь имеет вид:

(x(8 - x))/6

Здесь числитель — это x(8 - x),а знаменатель — 6. Чтобы дробь была правильной, необходимо, чтобы:

x(8 - x) < 6.

Теперь давайте разберемся с неравенством:

1. Раскроем скобки: x(8 - x) = 8x - x^2.
2. Теперь у нас есть неравенство: 8x - x^2 < 6.
3. Переносим 6 в левую часть: -x^2 + 8x - 6 < 0.
4. Умножим все неравенство на -1 (не забываем поменять знак неравенства): x^2 - 8x + 6 > 0.

Теперь нужно решить квадратное неравенство x^2 - 8x + 6 > 0. Для этого найдем корни соответствующего уравнения x^2 - 8x + 6 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 * 1 * 6 = 64 - 24 = 40.
• Корни уравнения: x1 = (8 + sqrt(40))/2 и x2 = (8 - sqrt(40))/2.

Теперь найдем приближенные значения корней:

• sqrt(40) приблизительно равно 6.32, тогда:
• x1 = (8 + 6.32)/2 ≈ 7.16,
• x2 = (8 - 6.32)/2 ≈ 0.84.

Таким образом, корни уравнения примерно равны 0.84 и 7.16. Теперь мы знаем, что парабола (график функции x^2 - 8x + 6) открыта вверх, и она будет больше нуля вне интервала (0.84, 7.16).

Теперь мы можем определить, какие натуральные числа попадают в этот диапазон:

• Натуральные числа меньше 0.84: нет таких чисел.
• Натуральные числа больше 7.16: это 8, 9, 10 и так далее.

Таким образом, натуральные числа, которые удовлетворяют условию x(8 - x)/6 < 1, начинаются с 8 и идут до 8 включительно.

Итак, единственное натуральное число, которое подходит под условия задачи, это 8.

Ответ: 1 натуральное число.