$tg \frac{x}{2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Алгебра 10 класс Тригонометрические уравнения. tg x/2 -1/√3.

Ответ: $x = -\frac{2\pi}{3}$ или $x = \frac{2\pi}{3}$.

Для решения уравнения $tg \frac{x}{2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Преобразуем уравнение:
По определению тангенса, $tg x = \frac{sin x}{cos x}$.
В нашем случае $x$ заменён на $\frac{x}{2}$, поэтому $tg \frac{x}{2}=\frac{sin \frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2}}$.
Подставим это в исходное уравнение: $\frac{sin \frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

2. Решим уравнение:
Умножим обе части уравнения на $cos \frac{x}{2}$:
$sin \frac{x}{2} = - \frac{cos \frac{x}{2}}{\sqrt{3}}$.
Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$, где $\alpha$ — угол.
Из него следует, что $cos^2 \alpha=1-sin^2\alpha$. Подставим в уравнение вместо $cos^2 \frac{x}{2}$ выражение $(1-sin^2 \frac{x}{2})$:
$(1-sin^2 \frac{x}{2}) = - \frac{1}{\sqrt{3}}(1-sin^2 \frac{x}{2})$.
После сокращения получаем: $sin^2 \frac{x}{2} = \frac{2}{3}$.
Отсюда $sin \frac{x}{2} = ± \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

3. Найдём значение $x$:
Так как $tg \frac{x}{2} < 0$, то угол $\frac{x}{2}$ должен лежать во II или III координатной четверти.
Во II четверти $sin \frac{x}{2}>0$, значит, подходит только знак «+».
Тогда $sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$, а $cos \frac{x}{2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Используя формулу $tg \alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$, найдём $tg \frac{x}{2}$. Получим $tg \frac{x}{2}=-1$.
Значит, $\frac{x}{2} = arctg(-1) + \pi n$, где $n$ — целое число.
Следовательно, $x = -2arctg(1) + 2\pi n = -\pi + 2 \pi n$.

Таким образом, решением уравнения является $x=-\pi+2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Привет! Это уравнение решается довольно просто, но нужно немного подумать.

Давай разбираться. Сначала мы преобразуем уравнение, используя формулу тангенса: $tg x = \frac{sin x}{cos x}$. В нашем случае $x$ заменён на $\frac{x}{2}$, поэтому $tg \frac{x}{2}=\frac{sin \frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2}}$. Подставим это в исходное уравнение и получим:

$\frac{sin \frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Теперь умножим обе части уравнения на $cos \frac{x}{2}$ и получим:

$sin \frac{x}{2} = - \frac{cos \frac{x}{2}}{\sqrt{3}}$

А теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$, где $\alpha$ — угол. Из него следует, что $cos^2 \alpha=1-sin^2\alpha$. Подставим в уравнение вместо $cos^2 \frac{x}{2}$ выражение $(1-sin^2 \frac{x}{2})$ и получим:

$(1-sin^2 \frac{x}{2}) = - \frac{1}{\sqrt{3}}(1-sin^2 \frac{x}{2})$

После сокращения получаем: $sin^2 \frac{x}{2} = \frac{2}{3}$

Отсюда $sin \frac{x}{2} = ± \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Так как $tg \frac{x}{2} < 0$, то угол $\frac{x}{2}$ должен лежать во II или III координатной четверти. Во II четверти $sin \frac{x}{2}>0$, значит, подходит только знак «+». Тогда $sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, а cos \frac{x}{2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Используя формулу $tg \alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$, найдём $tg \frac{x}{2}$. Получим $tg \frac{x}{2}=-1$. Значит, $\frac{x}{2} = arctg(-1) + \pi n$, где $n$ — целое число. Следовательно, $x = -2arctg(1) + 2\pi n = -\pi + 2 \pi n$.

Таким образом, решением уравнения является $x=-\pi+2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Надеюсь, это поможет тебе разобраться с уравнением!