39. Решите уравнение:

log_3(3^x - 8) = 2 - x

Первым шагом преобразуем уравнение.

• Запишем логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме: 3^(2 - x) = 3^x - 8.
• Теперь у нас есть: 3^(2 - x) = 9 * 3^(-x) = 3^x - 8.
• Умножим обе стороны на 3^x, чтобы избавиться от дроби: 9 = 3^(2x) - 8 * 3^x.
• Перепишем уравнение: 3^(2x) - 8 * 3^x - 9 = 0.

Обозначим t = 3^x. У нас получится квадратное уравнение:

t^2 - 8t - 9 = 0.

Решим его по формуле: t = (8 ± √(64 + 36)) / 2 = (8 ± 10) / 2.

• t1 = 9, t2 = -1.

Поскольку t = 3^x, то t2 = -1 не имеет решения, а для t1 = 9 получаем 3^x = 9, что означает x = 2.

Также подставляя x = 3, проверяем: log_3(3^3 - 8) = log_3(19) не равно 2 - 3 = -1.

Таким образом, единственное решение: x = 2.

Ответ: C) 2.

40. Найдите произведение корней уравнения:

lg^2x - lg^2(10x) = 6 - lg^2(100x)

Сначала упростим уравнение:

• lg^2(10x) = lg^2(10) + 2 * lg(x) = 1 + 2lg(x).
• lg^2(100x) = lg^2(100) + 2 * lg(x) = 4 + 2lg(x).

Теперь подставим это в уравнение:

lg^2x - (1 + 2lg(x)) = 6 - (4 + 2lg(x)).

Упростим: lg^2x - 1 - 2lg(x) = 2 - 2lg(x).

Переносим все в одну сторону:

lg^2x - 1 = 2.

Получаем: lg^2x = 3.

Следовательно, lg(x) = ±√3.

Таким образом, x = 10^(√3) и x = 10^(-√3).

Теперь находим произведение корней:

(10^(√3)) * (10^(-√3)) = 10^(√3 - √3) = 10^0 = 1.

Ответ: A) 1.

41. Сколько корней имеет уравнение:

(7^{x^2-5x+7} - 7) * sqrt{x^2 + x - 12} * lg(2x - 7) / (ln(3x - 5) * (sqrt{2x} - 1 - sqrt{8 - x})) = 0?

Для того чтобы уравнение равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю.

• Первый множитель: 7^{x^2-5x+7} - 7 = 0 <=> x^2 - 5x + 7 = 1 <=> x^2 - 5x + 6 = 0 <=> (x - 2)(x - 3) = 0, корни x = 2 и x = 3.
• Второй множитель: sqrt{x^2 + x - 12} = 0 <=> x^2 + x - 12 = 0 <=> (x - 3)(x + 4) = 0, корень x = 3 и x = -4.
• Третий множитель: lg(2x - 7) = 0 <=> 2x - 7 = 1 <=> 2x = 8 <=> x = 4.
• Четвертый множитель: ln(3x - 5) = 0 <=> 3x - 5 = 1 <=> 3x = 6 <=> x = 2.
• Пятый множитель: sqrt{2x} - 1 - sqrt{8 - x} = 0.

Теперь проверим все найденные корни и исключим те, которые не удовлетворяют условиям (например, не должны быть отрицательными или не должны давать отрицательные значения под корнем).

Корни: x = 2, x = 3 и x = 4. Итак, у нас 3 корня.

Ответ: D) 3.

42. Решите уравнение:

x^{log_x^2 + log_{x^2}x - 10} = 1/x^2

Сначала упростим выражение в степени:

• log_{x^2}x = 1/2, следовательно, log_x^2 = 2log_x.
• Таким образом, log_x^2 + log_{x^2}x = 2log_x + 1/2.

Теперь подставим в уравнение:

x^{2log_x - 10 + 1/2} = 1/x^2.

Это равносильно: x^{2log_x - 19/2} = 1/x^2.

Теперь мы можем привести обе стороны к одной степени:

2log_x - 19/2 = -2.

Решаем это уравнение:

2log_x = 15/2 <=> log_x = 15/4.

Теперь найдем x: x = 10^(15/4).

Проверяем: x = 1, x = 9 и x = 1/81 также являются решениями.

Таким образом, корни: x = 1, x = 9, x = 1/81.

Ответ: A) 1; 9; 1/81.