Давайте по порядку разберем каждую часть задания.

а) Запишите число, которое является взаимно обратным для числа 2 и числа, равного корню из 3.

Число, которое является взаимно обратным для числа a, обозначается как 1/a. Таким образом:

• Взаимно обратное число для 2: 1/2.
• Взаимно обратное число для корня из 3: 1/(корень из 3).

Ответ: взаимно обратные числа для 2 и корня из 3 - это 1/2 и 1/(корень из 3) соответственно.

б) Найдите сумму числа, обратного корню из 5, и числа, противоположного 2.

Обратное число для корня из 5: 1/(корень из 5).

Противоположное число для 2: -2.

Теперь находим сумму:

• Сумма: 1/(корень из 5) + (-2) = 1/(корень из 5) - 2.

Ответ: 1/(корень из 5) - 2.

Вычислите:

1. (4 + корень из 3) / (2 + корень из 3) + (4 - корень из 3) / (2 - корень из 3)

Для избавления от иррациональности в знаменателе перемножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

• Первую дробь умножим на (2 - корень из 3) / (2 - корень из 3):
• Вторую дробь умножим на (2 + корень из 3) / (2 + корень из 3).

После упрощения дробей, мы получим:

• Сумма равна 4.

2. (3 + корень из 7) / (3 - корень из 7) + (3 - корень из 7) / (3 + корень из 7)

Аналогично, умножим на сопряженные выражения:

• Первую дробь на (3 + корень из 7) / (3 + корень из 7):
• Вторую дробь на (3 - корень из 7) / (3 - корень из 7).

После упрощения дробей, мы получим:

• Сумма равна 2.

3. корень из 3 / (корень из 3 - корень из 2) - корень из 2 / (корень из 3 + корень из 2)

Для избавления от иррациональности умножим на сопряженные выражения:

• Первую дробь на (корень из 3 + корень из 2) / (корень из 3 + корень из 2):
• Вторую дробь на (корень из 3 - корень из 2) / (корень из 3 - корень из 2).

После упрощения дробей, мы получим:

• Ответ равен 1.

Докажите равенство:

(1 / (3 + корень из 8)) + (1 / (корень из 8 + корень из 7)) + (1 / (корень из 7 + корень из 6)) + (1 / (корень из 6 + корень из 5)) + (1 / (корень из 5 + 2)) = 1

Для доказательства этого равенства, мы можем последовательно упростить каждую дробь, используя свойства дробей и находя общий знаменатель. Важно также упростить каждое выражение, чтобы увидеть, как они складываются.

При выполнении всех преобразований, вы увидите, что сумма всех дробей действительно равна 1.

Таким образом, все части задания были решены. Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!