Через точку (1;1) проведены две касательные к графику функции f(x) = 2x^2 + 4x + 3. Какова сумма абсцисс точек, в которых эти касательные касаются графика функции?

Алгебра 11 класс Касательные к графику функции алгебра 11 класс касательные к графику функции сумма абсцисс точек график функции f(x) = 2x^2 + 4x + 3 точки касания задачи по алгебре Новый

Для решения задачи нам нужно сначала найти производную функции f(x), чтобы определить уравнения касательных. Функция задана как:

f(x) = 2x^2 + 4x + 3

1. Находим производную функции f(x):

f'(x) = 4x + 4

2. Теперь, чтобы найти точки касания, нам нужно знать, что касательная к графику функции в точке (a; f(a)) имеет следующий вид:

y - f(a) = f'(a)(x - a)

3. Поскольку касательные проходят через точку (1; 1), мы можем подставить это в уравнение касательной:

1 - f(a) = f'(a)(1 - a)

4. Теперь выразим f(a) и f'(a):

f(a) = 2a^2 + 4a + 3

f'(a) = 4a + 4

5. Подставим f(a) и f'(a) в уравнение касательной:

1 - (2a^2 + 4a + 3) = (4a + 4)(1 - a)

6. Упростим уравнение:

-2a^2 - 4a - 2 = 4 - 4a - 4a^2

7. Переносим все в одну сторону:

2a^2 - 2a - 6 = 0

8. Упрощаем уравнение:

a^2 - a - 3 = 0

9. Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-3) = 1 + 12 = 13

10. Находим корни уравнения:

a1 = (1 + sqrt(13)) / 2

a2 = (1 - sqrt(13)) / 2

11. Теперь нам нужно найти сумму абсцисс точек касания:

Сумма = a1 + a2 = ((1 + sqrt(13)) / 2) + ((1 - sqrt(13)) / 2) = (1 + 1) / 2 = 1

Таким образом, сумма абсцисс точек, в которых касательные касаются графика функции, равна:

1