Похожие вопросы
2025-11-02 06:23:42
Для функции f(x) = 2/x^3 - 4x найдите первообразную, которая проходит через точку A(1;6).
Алгебра 11 класс Интегрирование функций алгебра 11 первообразная функция f(x) 2/x^3 -4x точка a(1;6) нахождение первообразной интегрирование функции
2025-11-02 06:23:57
Для нахождения первообразной функции f(x) = 2/x^3 - 4x, нам нужно выполнить интегрирование этой функции. Давайте разберем шаги решения:
- Запишем функцию: f(x) = 2/x^3 - 4x
- Преобразуем дробь: Мы можем переписать 2/x^3 как 2 * x^(-3). Таким образом, функция становится:
- f(x) = 2 * x^(-3) - 4x
- Интегрируем каждый член: Теперь мы найдем интеграл от f(x). Интеграл от суммы равен сумме интегралов, поэтому:
- ∫f(x)dx = ∫(2 * x^(-3))dx - ∫(4x)dx
- Находим интегралы:
- ∫(2 * x^(-3))dx = 2 * (-1/2 * x^(-2)) = -x^(-2) = -1/x^2
- ∫(4x)dx = 4 * (1/2 * x^2) = 2x^2
- Собираем результаты: Теперь подставим найденные интегралы обратно:
- ∫f(x)dx = -1/x^2 + 2x^2 + C, где C - произвольная константа интегрирования.
- Подставим точку A(1;6): Чтобы найти значение C, используем условие, что первообразная проходит через точку A(1;6). Подставим x = 1 и f(1) = 6:
- 6 = -1/(1^2) + 2*(1^2) + C
- 6 = -1 + 2 + C
- 6 = 1 + C
- C = 6 - 1 = 5
- Записываем окончательный ответ: Теперь мы можем записать полное выражение первообразной:
- F(x) = -1/x^2 + 2x^2 + 5
Таким образом, первообразная функции f(x) = 2/x^3 - 4x, которая проходит через точку A(1;6), имеет вид:
F(x) = -1/x^2 + 2x^2 + 5