Давайте докажем данное равенство с помощью метода математической индукции. Мы будем доказывать, что для всех натуральных чисел n выполняется следующее равенство:

1 / (4n - 3)(4n + 1) = n / (4n + 1)

Для этого мы проведем доказательство в два шага: базовый случай и шаг индукции.

Шаг 1: Базовый случай

Начнем с базового случая, когда n = 1.

Подставим n = 1 в левую часть равенства:

• Левая часть: 1 / (4*1 - 3)(4*1 + 1) = 1 / (4 - 3)(4 + 1) = 1 / (1)(5) = 1 / 5.

Теперь подставим n = 1 в правую часть равенства:

• Правая часть: 1 / (4*1 + 1) = 1 / (4 + 1) = 1 / 5.

Таким образом, для n = 1 левая часть равенства равна правой части. Базовый случай выполнен.

Шаг 2: Индукционный шаг

Теперь предположим, что утверждение верно для n = k, то есть:

1 / (4k - 3)(4k + 1) = k / (4k + 1)

Теперь мы должны доказать, что это верно для n = k + 1.

Подставим n = k + 1 в левую часть равенства:

• Левая часть: 1 / (4(k + 1) - 3)(4(k + 1) + 1) = 1 / (4k + 4 - 3)(4k + 4 + 1) = 1 / (4k + 1)(4k + 5).

Теперь подставим это в правую часть:

• Правая часть: (k + 1) / (4(k + 1) + 1) = (k + 1) / (4k + 4 + 1) = (k + 1) / (4k + 5).

Теперь мы должны показать, что:

1 / (4k + 1)(4k + 5) = (k + 1) / (4k + 5).

Умножим обе части на (4k + 5) (при этом 4k + 5 не равно 0, так как k - натуральное число):

• 1 / (4k + 1) = k + 1.

Теперь, чтобы проверить, верно ли это, мы можем перемножить обе стороны на (4k + 1):

• 1 = (k + 1)(4k + 1).

Это уравнение также можно проверить. Мы видим, что индукционное предположение выполняется, и мы доказали, что если утверждение верно для n = k, то оно верно и для n = k + 1.

Таким образом, мы завершили доказательство с помощью математической индукции. Утверждение верно для всех натуральных чисел n.