Как можно найти корни уравнения х³ + 2х² - 13х + 10 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения третьей степени корни уравнения алгебра 11 класс уравнение третьей степени решение уравнения методы нахождения корней Новый

Чтобы найти корни уравнения x³ + 2x² - 13x + 10 = 0, мы можем использовать несколько методов, включая метод подбора, деление многочлена и, если необходимо, формулу Виета. Давайте рассмотрим шаги решения подробно.

1. Подбор рациональных корней:

   Сначала мы можем попробовать найти корни, подбирая значения для x. Для этого воспользуемся теоремой о рациональных корнях, которая гласит, что возможные рациональные корни уравнения имеют вид ±p/q, где p — делители свободного члена (в нашем случае 10), а q — делители ведущего коэффициента (в нашем случае 1).

   Делители числа 10: ±1, ±2, ±5, ±10. Мы будем подставлять эти значения в уравнение:

   • При x = 1:

     1³ + 2*1² - 13*1 + 10 = 1 + 2 - 13 + 10 = 0. Корень найден!

   • При x = -1:

     (-1)³ + 2*(-1)² - 13*(-1) + 10 = -1 + 2 + 13 + 10 = 24. Не корень.

   • При x = 2:

     2³ + 2*2² - 13*2 + 10 = 8 + 8 - 26 + 10 = 0. Корень найден!

   • При x = -2:

     (-2)³ + 2*(-2)² - 13*(-2) + 10 = -8 + 8 + 26 + 10 = 36. Не корень.

   • При x = 5:

     5³ + 2*5² - 13*5 + 10 = 125 + 50 - 65 + 10 = 120. Не корень.

   • При x = -5:

     (-5)³ + 2*(-5)² - 13*(-5) + 10 = -125 + 50 + 65 + 10 = -0. Не корень.

   • При x = 10:

     10³ + 2*10² - 13*10 + 10 = 1000 + 200 - 130 + 10 = 1080. Не корень.

   • При x = -10:

     (-10)³ + 2*(-10)² - 13*(-10) + 10 = -1000 + 200 + 130 + 10 = -660. Не корень.

2. Деление многочлена:

   Теперь, когда мы нашли два корня, x = 1 и x = 2, мы можем использовать деление многочлена для нахождения остальных корней. Мы можем разделить исходное уравнение на (x - 1)(x - 2) или (x² - 3x + 2).

   Теперь выполним деление:

   • Делим x³ + 2x² - 13x + 10 на x² - 3x + 2.
   • Результат деления: x + 5.
3. Нахождение оставшегося корня:

   Теперь у нас есть уравнение (x - 1)(x - 2)(x + 5) = 0. Мы можем найти оставшийся корень, приравняв x + 5 = 0, что дает x = -5.

Таким образом, корни уравнения x³ + 2x² - 13x + 10 = 0 равны:

• x = 1
• x = 2
• x = -5