Как можно найти производную следующих функций:
А) f(x) = 2/5 × x¹⁰ + x⁴ + 1
Б) f(x) = x-1 / 2x+1
В) f(x) = √2x' - x

Алгебра 11 класс Производные функций производная функций алгебра 11 класс нахождение производной функции f(x) примеры производной Новый

Давайте рассмотрим, как найти производные каждой из предложенных функций. Я объясню шаги для каждой из них.

А) f(x) = (2/5) × x¹⁰ + x⁴ + 1

Для нахождения производной этой функции мы будем использовать правило дифференцирования степенной функции, которое гласит, что производная функции f(x) = k × x^n равна f'(x) = k × n × x^(n-1), где k - это коэффициент, а n - степень.

1. Найдём производную первого слагаемого: (2/5) × x¹⁰.
   • Коэффициент k = 2/5, степень n = 10.
   • Применяем правило: f'(x) = (2/5) × 10 × x^(10-1) = (20/5) × x^9 = 4 × x^9.
2. Теперь найдём производную второго слагаемого: x⁴.
   • Коэффициент k = 1, степень n = 4.
   • Применяем правило: f'(x) = 1 × 4 × x^(4-1) = 4 × x^3.
3. Производная константы 1 равна 0.

Теперь складываем все найденные производные:

f'(x) = 4 × x^9 + 4 × x^3 + 0 = 4 × x^9 + 4 × x^3.

Б) f(x) = (x - 1) / (2x + 1)

Для нахождения производной дробной функции мы будем использовать правило дифференцирования дроби, которое гласит, что если f(x) = g(x) / h(x), то f'(x) = (g'(x)h(x) - g(x)h'(x)) / (h(x))².

1. Определим g(x) = x - 1 и h(x) = 2x + 1.
2. Найдём производные g'(x) и h'(x):
   • g'(x) = 1 (производная x - 1).
   • h'(x) = 2 (производная 2x + 1).
3. Теперь подставим в формулу:
   • f'(x) = (1 × (2x + 1) - (x - 1) × 2) / (2x + 1)².
   • Упрощаем: f'(x) = (2x + 1 - 2x + 2) / (2x + 1)² = 3 / (2x + 1)².

Итак, производная функции f(x) = (x - 1) / (2x + 1) равна f'(x) = 3 / (2x + 1)².

В) f(x) = √(2x) - x

Для нахождения производной этой функции мы будем использовать правило дифференцирования корня и линейности производной.

1. Запишем √(2x) в виде (2x)^(1/2). Теперь применим правило: f'(x) = (1/2) × (2x)^(-1/2) × (2) - 1.
   • Производная √(2x) = (1/2) × (2x)^(-1/2) × (2) = 1 / √(2x).
2. Производная -x равна -1.

Теперь складываем все найденные производные:

f'(x) = 1 / √(2x) - 1.

Таким образом, мы нашли производные для всех трех функций:

• f'(x) = 4 × x^9 + 4 × x^3 для функции А.
• f'(x) = 3 / (2x + 1)² для функции Б.
• f'(x) = 1 / √(2x) - 1 для функции В.