Чтобы найти промежутки монотонности и определить точки экстремума функции f(x) = 0,5x^4 - 2x^3, необходимо выполнить следующие шаги:

Сначала мы найдем первую производную функции f(x). Производная функции показывает, как изменяется функция в зависимости от x. Для данной функции:

• f'(x) = d/dx (0,5x^4) - d/dx (2x^3)
• f'(x) = 2x^3 - 6x^2

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю:

• 2x^3 - 6x^2 = 0
• 2x^2(x - 3) = 0

Теперь решим это уравнение:

• 2x^2 = 0 → x = 0
• x - 3 = 0 → x = 3

Таким образом, критические точки: x = 0 и x = 3.

Теперь мы определим, на каких промежутках функция возрастает или убывает. Для этого рассмотрим интервалы, которые определяются критическими точками:

• (-∞, 0)
• (0, 3)
• (3, +∞)

Теперь выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в производную f'(x):

• Для интервала (-∞, 0): например, x = -1
• f'(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1)^2 = -2 - 6 = -8 (меньше 0, значит функция убывает)
• Для интервала (0, 3): например, x = 1
• f'(1) = 2(1)^3 - 6(1)^2 = 2 - 6 = -4 (меньше 0, значит функция убывает)
• Для интервала (3, +∞): например, x = 4
• f'(4) = 2(4)^3 - 6(4)^2 = 128 - 96 = 32 (больше 0, значит функция возрастает)

На основе анализа знака производной, мы можем сделать выводы о промежутках монотонности:

• Функция убывает на интервалах (-∞, 0) и (0, 3).
• Функция возрастает на интервале (3, +∞).

Точки, где производная меняет знак, являются точками экстремума:

• В точке x = 0 функция убывает до этой точки и также убывает после, следовательно, это точка минимума.
• В точке x = 3 функция убывает до этой точки и затем начинает возрастать, следовательно, это точка максимума.

• Промежутки монотонности: функция убывает на (-∞, 0) и (0, 3),возрастает на (3, +∞).
• Точка минимума: x = 0; точка максимума: x = 3.