Как можно найти решение для следующих дифференциальных уравнений: 1) xy' = 2y, 2) y' = cos(x - y)?

Алгебра 11 класс Дифференциальные уравнения решение дифференциальных уравнений алгебра 11 класс xy' = 2y y' = cos(x - y) методы решения уравнений дифференциальные уравнения 11 класс Новый

Решение дифференциальных уравнений может быть выполнено различными методами, в зависимости от их типа. Рассмотрим каждое из предложенных уравнений по отдельности.

1) Уравнение: xy' = 2y

Это уравнение является однородным и может быть решено методом разделения переменных. Давайте разберем его шаг за шагом:

1. Перепишем уравнение в более удобной форме:

y' = (2y)/x

2. Теперь разделим переменные:

(1/y) dy = (2/x) dx

3. Теперь интегрируем обе стороны:

∫(1/y) dy = ∫(2/x) dx

4. Интегрируем:

ln|y| = 2ln|x| + C, где C - константа интегрирования.

5. Теперь упрощаем выражение:

ln|y| = ln|x|^2 + C

6. Возводим обе стороны в степень:

|y| = e^C * |x|^2

7. Так как e^C - это просто константа, обозначим ее как K:

y = Kx^2, где K - произвольная константа.

Таким образом, общее решение для данного уравнения имеет вид: y = Kx^2.

2) Уравнение: y' = cos(x - y)

Это уравнение является неявным и требует применения метода подстановки. Рассмотрим его подробнее:

1. Введем новую переменную:

v = x - y, тогда y = x - v и y' = 1 - v'

2. Подставим это в уравнение:

1 - v' = cos(v)

3. Теперь выразим v':

v' = 1 - cos(v)

4. Разделим переменные:

dv/(1 - cos(v)) = dx

5. Теперь интегрируем обе стороны:

∫ dv/(1 - cos(v)) = ∫ dx

6. Интеграл слева можно упростить, используя тригонометрические тождества, но для краткости мы просто обозначим результат интегрирования как F(v):

F(v) = x + C, где C - константа интегрирования.

7. Теперь, чтобы получить решение, необходимо выразить v через x:

v = F^(-1)(x + C)

8. И подставить обратно значение v:

y = x - F^(-1)(x + C).

Таким образом, общее решение для второго уравнения будет в виде y = x - F^(-1)(x + C), где F(v) - это интеграл от dv/(1 - cos(v)).

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решать данные дифференциальные уравнения!