Конечно, давайте разберем данное уравнение шаг за шагом. У нас есть уравнение:

yy' = y'(y' - 1)

Сначала мы можем упростить уравнение. Обратите внимание, что y' (производная y по x) присутствует и с левой, и с правой стороны. Если y' ≠ 0, мы можем разделить обе стороны на y'. Если y' = 0, то мы получим особый случай, который мы рассмотрим позже.

Разделим обе стороны на y':

y = y' - 1

Теперь мы можем выразить y' через y:

y' = y + 1

Теперь у нас есть первое-order (первого порядка) уравнение. Мы можем решить его методом разделения переменных. Перепишем уравнение:

dy/dx = y + 1

Теперь разделим переменные:

dy / (y + 1) = dx

Теперь интегрируем обе стороны:

1. Левая сторона: ∫dy / (y + 1) = ln|y + 1| + C1
2. Правая сторона: ∫dx = x + C2

Соберем результаты интегрирования:

ln|y + 1| = x + C

где C = C2 - C1 - произвольная константа.

Теперь возведем обе стороны в степень, чтобы избавиться от логарифма:

|y + 1| = e^(x + C) = e^C * e^x

Обозначим e^C как K (положительная константа), тогда:

y + 1 = K * e^x

И, наконец, выразим y:

y = K * e^x - 1

Теперь рассмотрим случай, когда y' = 0. Это означает, что производная равна нулю, и y является константой.

Если y' = 0, то подставляем это значение в исходное уравнение:

yy' = y'(y' - 1) = 0

Это выполняется для любого значения y, поэтому y может принимать любое значение в этом случае.

Таким образом, обобщенное решение нашего дифференциального уравнения:

y = K * e^x - 1, K ∈ R (параметр) или y = C (константа).