Можете помочь решить уравнение: yy' = y'(y' - 1)?

Это дифференциальное уравнение второго порядка.

Алгебра 11 класс Дифференциальные уравнения алгебра 11 класс решение уравнения Дифференциальное уравнение уравнение второго порядка математическая помощь Новый

Конечно, давайте разберем данное уравнение шаг за шагом. У нас есть уравнение:

yy' = y'(y' - 1)

Сначала мы можем упростить уравнение. Обратите внимание, что y' (производная y по x) присутствует и с левой, и с правой стороны. Если y' ≠ 0, мы можем разделить обе стороны на y'. Если y' = 0, то мы получим особый случай, который мы рассмотрим позже.

Разделим обе стороны на y':

y = y' - 1

Теперь мы можем выразить y' через y:

y' = y + 1

Теперь у нас есть первое-order (первого порядка) уравнение. Мы можем решить его методом разделения переменных. Перепишем уравнение:

dy/dx = y + 1

Теперь разделим переменные:

dy / (y + 1) = dx

Теперь интегрируем обе стороны:

1. Левая сторона: ∫dy / (y + 1) = ln|y + 1| + C1
2. Правая сторона: ∫dx = x + C2

Соберем результаты интегрирования:

ln|y + 1| = x + C

где C = C2 - C1 - произвольная константа.

Теперь возведем обе стороны в степень, чтобы избавиться от логарифма:

|y + 1| = e^(x + C) = e^C * e^x

Обозначим e^C как K (положительная константа), тогда:

y + 1 = K * e^x

И, наконец, выразим y:

y = K * e^x - 1

Теперь рассмотрим случай, когда y' = 0. Это означает, что производная равна нулю, и y является константой.

Если y' = 0, то подставляем это значение в исходное уравнение:

yy' = y'(y' - 1) = 0

Это выполняется для любого значения y, поэтому y может принимать любое значение в этом случае.

Таким образом, обобщенное решение нашего дифференциального уравнения:

y = K * e^x - 1, K ∈ R (параметр) или y = C (константа).