Как можно определить частное решение дифференциального уравнения 2xy' + y = 2x^3, если известно начальное условие y(1) = 9/7?

Алгебра 11 класс Дифференциальные уравнения частное решение Дифференциальное уравнение начальное условие 2xy' y = 2x^3 y(1) = 9/7 алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения 2xy' + y = 2x^3 с начальным условием y(1) = 9/7, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду

Сначала мы можем выразить y' через остальные переменные. Уравнение можно записать в следующем виде:

• y' = (2x^3 - y) / (2x)

Шаг 2: Решение однородного уравнения

Решим однородное уравнение, которое получается, если приравнять правую часть к нулю:

• 2xy' + y = 0

Это уравнение имеет вид:

• y' = -y / (2x)

Решим это уравнение методом разделения переменных:

• dy/y = -1/(2x) dx

Интегрируем обе части:

• ln|y| = -1/2 ln|x| + C

Теперь возводим обе стороны в степень, чтобы избавиться от логарифма:

• |y| = e^C * |x|^{-1/2}

Обозначим e^C как K (константа), тогда:

• y = K/x^{1/2}

Шаг 3: Поиск частного решения

Теперь найдем частное решение. Для этого подставим y = K/x^{1/2} в исходное уравнение:

• 2x(d(K/x^{1/2}))/dx + K/x^{1/2} = 2x^3

Найдем производную:

• d(K/x^{1/2})/dx = -K/(2x^{3/2})

Теперь подставим это в уравнение:

• 2x(-K/(2x^{3/2})) + K/x^{1/2} = 2x^3

Упрощаем:

• -K/x^{1/2} + K/x^{1/2} = 2x^3

Это уравнение не дает нам информации о K, поэтому вернемся к исходному уравнению и подберем K, используя начальное условие.

Шаг 4: Применение начального условия

Теперь подставим начальное условие y(1) = 9/7:

• 9/7 = K/1^{1/2}

Отсюда находим K:

• K = 9/7

Шаг 5: Запись общего решения

Теперь мы можем записать частное решение:

• y = (9/7) / x^{1/2}

Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения с начальным условием y(1) = 9/7 будет:

• y = (9/7) * (1/sqrt(x))