Давайте рассмотрим каждый из предложенных интегралов по порядку и найдем их решения.

1. Интеграл ∫(x^4 + 3) dx

Для решения этого интеграла мы используем правило интегрирования степенной функции и свойство линейности интеграла.

1. Интегрируем каждую часть по отдельности:
• ∫x^4 dx = (x^5)/5 + C, где C - произвольная константа интегрирования.
• ∫3 dx = 3x + C.
2. Объединяем результаты:
• ∫(x^4 + 3) dx = (x^5)/5 + 3x + C.

2. Интеграл ∫cos(3x + 1) dx

Для решения этого интеграла воспользуемся методом замены переменной:

1. Пусть u = 3x + 1, тогда du/dx = 3, следовательно, dx = du/3.
2. Теперь подставим u в интеграл:
• ∫cos(3x + 1) dx = ∫cos(u) * (du/3) = (1/3) ∫cos(u) du.
3. Интегрируем cos(u):
• ∫cos(u) du = sin(u) + C.
4. Теперь подставим обратно u:
• ∫cos(3x + 1) dx = (1/3)sin(3x + 1) + C.

3. Интеграл ∫(3x^2 + x) dx от 0 до 1

Сначала найдем неопределенный интеграл:

1. Интегрируем каждую часть:
• ∫3x^2 dx = (3x^3)/3 = x^3.
• ∫x dx = (x^2)/2.
2. Объединяем результаты:
• ∫(3x^2 + x) dx = x^3 + (x^2)/2 + C.
3. Теперь вычислим определенный интеграл от 0 до 1:
• F(x) = x^3 + (x^2)/2.
• F(1) = 1^3 + (1^2)/2 = 1 + 0.5 = 1.5.
• F(0) = 0^3 + (0^2)/2 = 0.
• Теперь находим значение интеграла: ∫(3x^2 + x) dx от 0 до 1 = F(1) - F(0) = 1.5 - 0 = 1.5.

4. Интеграл ∫(2√x + 1/(x^2)) dx от 0 до ∞

Этот интеграл требует особого внимания, так как он имеет бесконечные пределы. Мы можем разбить его на два отдельных интеграла:

1. ∫(2√x) dx и ∫(1/(x^2)) dx.
2. Для ∫(2√x) dx:
• ∫2√x dx = ∫2x^(1/2) dx = (2 * (x^(3/2))/ (3/2)) = (4/3)x^(3/2).
3. Для ∫(1/(x^2)) dx:
• ∫(1/(x^2)) dx = -1/x.
4. Теперь вычисляем интегралы от 0 до ∞:
• ∫(2√x) dx от 0 до ∞ стремится к бесконечности, так как при x → ∞, (4/3)x^(3/2) также стремится к бесконечности.
• ∫(1/(x^2)) dx от 0 до ∞ также стремится к бесконечности, так как при x → 0, -1/x стремится к бесконечности.
5. Таким образом, оба интеграла расходятся, и интеграл ∫(2√x + 1/(x^2)) dx от 0 до ∞ не имеет конечного значения.

Таким образом, мы рассмотрели все предложенные интегралы и нашли их решения. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!