Как вычислить интеграл функции x^2 на интервале от 1 до 2?

Алгебра 11 класс Интегралы и интегральное исчисление вычислить интеграл интеграл функции x^2 интервал от 1 до 2 алгебра 11 класс методы интегрирования

Чтобы вычислить интеграл функции x^2 на интервале от 1 до 2, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем этот процесс подробно.

1. Найдите неопределенный интеграл функции. Мы начинаем с нахождения неопределенного интеграла функции x^2. Интеграл функции x^n (где n - любое число) вычисляется по формуле:
• ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где C - произвольная постоянная.

В нашем случае n = 2, поэтому:

• ∫ x^2 dx = (x^(2+1))/(2+1) + C = (x^3)/3 + C.
2. Найдите определенный интеграл на заданном интервале. Теперь, когда мы нашли неопределенный интеграл, мы можем вычислить определенный интеграл от 1 до 2:
• ∫[1, 2] x^2 dx = [(x^3)/3] от 1 до 2.
3. Подставьте пределы интегрирования. Мы подставляем верхний и нижний пределы в найденный интеграл:
• Сначала подставим верхний предел (x = 2):
• (2^3)/3 = 8/3.
• Теперь подставим нижний предел (x = 1):
• (1^3)/3 = 1/3.
4. Вычислите значение определенного интеграла. Теперь мы можем найти значение определенного интеграла, вычитая значение на нижнем пределе из значения на верхнем пределе:
• ∫[1, 2] x^2 dx = (8/3) - (1/3) = (8 - 1)/3 = 7/3.

Таким образом, значение интеграла функции x^2 на интервале от 1 до 2 равно 7/3.

Для вычисления определенного интеграла функции x² на заданном интервале от 1 до 2, необходимо выполнить несколько последовательных шагов. Рассмотрим их более подробно.

Шаг 1: Найти неопределенный интеграл

Сначала мы находим неопределенный интеграл функции x². Неопределенный интеграл функции f(x) = x² записывается как:

∫x² dx

Чтобы вычислить этот интеграл, мы используем правило интегрирования степенной функции, которое гласит, что:

∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1 и C - произвольная константа.

В нашем случае n = 2, следовательно:

∫x² dx = (x^(2+1))/(2+1) + C = (x³)/3 + C.

Шаг 2: Применить пределы интегрирования

Теперь, когда мы нашли неопределенный интеграл, можем перейти к вычислению определенного интеграла на интервале от 1 до 2. Определенный интеграл записывается следующим образом:

∫[1, 2] x² dx = F(2) - F(1),

где F(x) - это найденный неопределенный интеграл (F(x) = (x³)/3 + C).

Шаг 3: Вычислить значения интеграла на границах

1. Сначала подставим верхний предел (x = 2):

F(2) = (2³)/3 = 8/3.

2. Теперь подставим нижний предел (x = 1):

F(1) = (1³)/3 = 1/3.

Шаг 4: Вычислить разность

Теперь мы можем найти значение определенного интеграла:

∫[1, 2] x² dx = F(2) - F(1) = (8/3) - (1/3) = (8/3) - (1/3) = (7/3).

Таким образом, определенный интеграл функции x² на интервале от 1 до 2 равен 7/3.