Как вычислить интеграл от 0 до П/2 для функции sin x cos x по переменной x? Помогите, срочно!

Алгебра 11 класс Интегралы и интегральное исчисление интеграл от 0 до П/2 вычисление интеграла sin x cos x алгебра 11 класс помощь по алгебре Новый

Чтобы вычислить интеграл от 0 до π/2 для функции sin(x) cos(x), мы можем использовать несколько методов. Один из них — это использование тригонометрической идентичности, а другой — замена переменной. Давайте рассмотрим оба подхода.

Метод 1: Использование тригонометрической идентичности

Сначала воспользуемся тригонометрической идентичностью:

sin(x) cos(x) = (1/2) sin(2x)

Теперь мы можем переписать интеграл:

∫(sin(x) cos(x)) dx от 0 до π/2 = ∫(1/2) sin(2x) dx от 0 до π/2

Теперь вычислим этот интеграл:

1. Найдём первообразную функции (1/2) sin(2x):
   • ∫(1/2) sin(2x) dx = -(1/4) cos(2x) + C
2. Теперь подставим пределы интегрирования:
   • ∫(1/2) sin(2x) dx от 0 до π/2 = [-(1/4) cos(2x)] от 0 до π/2
3. Подставляем пределы:
   • При x = π/2: -(1/4) cos(π) = -(1/4)(-1) = 1/4
   • При x = 0: -(1/4) cos(0) = -(1/4)(1) = -1/4
4. Теперь вычтем:
   • 1/4 - (-1/4) = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2

Таким образом, интеграл от 0 до π/2 для функции sin(x) cos(x) равен 1/2.

Метод 2: Замена переменной

Другой метод заключается в использовании замены переменной. Мы можем сделать замену:

u = sin(x), тогда du = cos(x) dx.

Когда x = 0, u = sin(0) = 0; когда x = π/2, u = sin(π/2) = 1.

Теперь интеграл преобразуется:

∫sin(x) cos(x) dx от 0 до π/2 = ∫u du от 0 до 1.

Теперь вычислим интеграл:

1. ∫u du = (1/2) u^2 + C.
2. Подставляем пределы:
   • При u = 1: (1/2)(1^2) = 1/2.
   • При u = 0: (1/2)(0^2) = 0.
3. Теперь вычтем:
   • 1/2 - 0 = 1/2.

Таким образом, оба метода дают один и тот же результат.

Ответ: Интеграл от 0 до π/2 для функции sin(x) cos(x) равен 1/2.