Как можно определить функциональные производные функции F(x)=2x · eˣ - x² · eˣ?

Алгебра 11 класс Производные функций функциональные производные производные функции алгебра 11 класс F(x) = 2x · eˣ eˣ x² · eˣ определение производной алгебраические функции Новый

Чтобы определить функциональные производные функции F(x) = 2x · eˣ - x² · eˣ, нам нужно воспользоваться правилами дифференцирования. Давайте разберем функцию на две части и найдем производную каждой из них по отдельности.

Функция F(x) состоит из двух слагаемых:

• Первое слагаемое: 2x · eˣ
• Второе слагаемое: - x² · eˣ

Теперь применим правило произведения для нахождения производной каждого слагаемого.

1. Для первого слагаемого 2x · eˣ:

По правилу произведения, если у нас есть функция u(x) = 2x и функция v(x) = eˣ, то производная F'(x) будет:

F'(x) = u'v + uv'

Где:

• u' = производная 2x = 2
• v = eˣ
• v' = производная eˣ = eˣ

Подставим все в формулу:

F'(x) = 2 · eˣ + 2x · eˣ = 2eˣ(1 + x)

2. Для второго слагаемого - x² · eˣ:

Также применяем правило произведения:

F'(x) = u'v + uv'

Где:

• u = -x²
• u' = производная -x² = -2x
• v = eˣ
• v' = производная eˣ = eˣ

Теперь подставим:

F'(x) = -2x · eˣ - x² · eˣ = -eˣ(2x + x²)

Теперь мы можем объединить обе производные, чтобы получить полную производную функции F(x):

F'(x) = 2eˣ(1 + x) - eˣ(2x + x²)

Соберем подобные слагаемые:

F'(x) = eˣ(2 + 2x - 2x - x²) = eˣ(2 - x²)

Таким образом, производная функции F(x) равна:

F'(x) = eˣ(2 - x²)

Теперь вы знаете, как находить производные для данной функции, используя правила дифференцирования!