Как можно определить корни уравнения 8sin^4x + 13cos2x = 7 в интервале (п/2, 2п) и выбрать не более трех решений?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрических функций корни уравнения алгебра 11 класс три решения интервал (п/2 2п) 8sin^4x + 13cos2x = 7 Новый

Чтобы решить уравнение 8sin^4x + 13cos2x = 7 в интервале (п/2, 2п), давайте начнем с упрощения уравнения и использования тригонометрических идентичностей.

Шаг 1: Используем тригонометрические идентичности.

• Мы знаем, что cos2x = cos^2x - sin^2x = 2cos^2x - 1 = 1 - 2sin^2x.
• Также sin^4x = (sin^2x)^2, и мы можем выразить sin^2x через cos2x.

Шаг 2: Подставим cos2x в уравнение.

Сначала выразим sin^4x через cos2x:

• Пусть y = sin^2x, тогда sin^4x = y^2.
• Из известной тригонометрической идентичности: cos2x = 1 - 2y.

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

8y^2 + 13(1 - 2y) = 7.

Шаг 3: Упростим уравнение.

• Раскроем скобки: 8y^2 + 13 - 26y = 7.
• Переносим все в одну сторону: 8y^2 - 26y + 6 = 0.

Шаг 4: Решим квадратное уравнение.

Мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 * 8 * 6.
• D = 676 - 192 = 484.
• Так как D > 0, у уравнения есть два различных корня.

Теперь находим корни:

• y1 = (26 + sqrt(484)) / (2 * 8) = (26 + 22) / 16 = 48 / 16 = 3.
• y2 = (26 - sqrt(484)) / (2 * 8) = (26 - 22) / 16 = 4 / 16 = 0.25.

Шаг 5: Найдем sin^2x.

Поскольку y = sin^2x, у нас есть:

• sin^2x = 3 (это значение не подходит, так как sin^2x не может превышать 1).
• sin^2x = 0.25, что дает sinx = ±0.5.

Шаг 6: Найдем значения x.

Решим уравнение sinx = 0.5 и sinx = -0.5:

• Для sinx = 0.5: x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ.
• Для sinx = -0.5: x = 7π/6 + 2kπ и x = 11π/6 + 2kπ.

Теперь подставим k = 0 и найдем значения x в интервале (π/2, 2π):

• x = 5π/6 (при k = 0, это подходит).
• x = 7π/6 (при k = 0, это подходит).
• x = 11π/6 (при k = 0, это подходит).

Ответ: Корни уравнения в интервале (π/2, 2π): 5π/6, 7π/6, 11π/6.