Как решить уравнение (3ctg^2x+4ctgx)/(5cos^2x-4cosx)=0?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрических функций решить уравнение алгебра Тригонометрия ctg cos уравнения с дробями методы решения уравнений математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение (3ctg^2x + 4ctgx) / (5cos^2x - 4cosx) = 0, начнем с того, что дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Таким образом, мы можем рассмотреть числитель отдельно:

Шаг 1: Решение числителя

Рассмотрим числитель:

3ctg^2x + 4ctgx = 0

Здесь ctgx = cosx/sinx, и мы можем заменить ctgx:

3(cos^2x/sin^2x) + 4(cosx/sinx) = 0

Умножим все на sin^2x, чтобы избавиться от дробей:

3cos^2x + 4cosx * sinx = 0

Теперь выделим общий множитель:

cosx(3cosx + 4sinx) = 0

Шаг 2: Найдем корни

• Первое уравнение: cosx = 0
• Второе уравнение: 3cosx + 4sinx = 0

Шаг 3: Решение cosx = 0

cosx = 0 дает нам:

x = (2n + 1) * (π/2), где n - целое число.

Шаг 4: Решение 3cosx + 4sinx = 0

Перепишем уравнение:

3cosx = -4sinx

Делим обе стороны на cosx (при условии, что cosx не равен 0):

3 = -4tanx

tanx = -3/4

Теперь найдем x:

x = arctan(-3/4) + kπ, где k - целое число.

Шаг 5: Проверка знаменателя

Теперь нам нужно проверить, что знаменатель не равен нулю:

5cos^2x - 4cosx ≠ 0

Решим неравенство:

cosx(5cosx - 4) ≠ 0

• cosx ≠ 0 (это уже учтено в решении)
• 5cosx - 4 ≠ 0, что дает cosx ≠ 4/5

Итак, окончательные решения:

1. x = (2n + 1) * (π/2), где n - целое число, но необходимо исключить случаи, когда cosx = 0.

2. x = arctan(-3/4) + kπ, где k - целое число, и также нужно проверить, чтобы cosx ≠ 4/5.

Таким образом, мы нашли все возможные решения данного уравнения, учитывая условия на cosx.