Как решить уравнение sin 2x = tg x?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрических функций решение уравнения sin 2x tg x алгебра Тригонометрия математические уравнения способы решения уравнений Новый

Для решения уравнения sin 2x = tg x необходимо воспользоваться тригонометрическими тождества и свойствами функций. Начнем с преобразования левой части уравнения.

Согласно тригонометрическим тождествам, sin 2x можно выразить через sin и cos:

• sin 2x = 2 * sin x * cos x

Также, tg x (тангенс) можно выразить как отношение синуса к косинусу:

• tg x = sin x / cos x

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

• 2 * sin x * cos x = sin x / cos x

Для удобства умножим обе стороны уравнения на cos x (при условии, что cos x ≠ 0, чтобы избежать деления на ноль):

• 2 * sin x * cos² x = sin x

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

• 2 * sin x * cos² x - sin x = 0

Выделим sin x как общий множитель:

• sin x (2 * cos² x - 1) = 0

Теперь у нас есть два множителя, и мы можем решить уравнение, приравняв каждый из них к нулю:

1. sin x = 0
2. 2 * cos² x - 1 = 0

Решим первое уравнение:

• sin x = 0, x = n * π, где n - целое число.

Теперь решим второе уравнение:

• 2 * cos² x = 1
• cos² x = 1/2
• cos x = ±√(1/2) = ±1/√2 = ±√2/2

Таким образом, получаем:

• cos x = √2/2, x = π/4 + 2nπ или x = 7π/4 + 2nπ, где n - целое число.
• cos x = -√2/2, x = 3π/4 + 2nπ или x = 5π/4 + 2nπ, где n - целое число.

В итоге, обобщенное решение уравнения sin 2x = tg x можно записать как:

• x = n * π (n ∈ Z)
• x = π/4 + 2nπ (n ∈ Z)
• x = 7π/4 + 2nπ (n ∈ Z)
• x = 3π/4 + 2nπ (n ∈ Z)
• x = 5π/4 + 2nπ (n ∈ Z)

Таким образом, мы нашли все возможные решения данного тригонометрического уравнения.