Как можно определить критические точки функции и выяснить, какие из них являются точками максимума, а какие - точками минимума?

a) x³ - 2x + 6

b) x⁴ - 2x² + 1

c) y(x) = 7 - 6x - 3x²

d) y(x) = 3 + 4x² - x⁴

Алгебра 11 класс Критические точки и экстремумы функций критические точки функции точки максимума точки минимума алгебра 11 класс нахождение экстремумов производная функции анализ функции задачи по алгебре Новый

Чтобы определить критические точки функции и выяснить, какие из них являются точками максимума, а какие - точками минимума, необходимо выполнить несколько шагов. Рассмотрим каждый из предложенных примеров.

1. Определение критических точек:

• Найдите производную функции.
• Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Это даст значения x, в которых функция имеет критические точки.

2. Анализ критических точек:

• Используйте вторую производную функции для определения характера критических точек.
• Если вторая производная положительна в критической точке, то это точка минимума.
• Если вторая производная отрицательна, то это точка максимума.
• Если вторая производная равна нулю, необходимо использовать другие методы (например, тест первой производной или анализ графика).

Теперь применим эти шаги к каждой функции.

a) f(x) = x³ - 2x + 6

1. Найдите производную: f'(x) = 3x² - 2.
2. Приравняйте к нулю: 3x² - 2 = 0 → x² = 2/3 → x = ±√(2/3).
3. Найдите вторую производную: f''(x) = 6x.
4. Проверьте критические точки:
• Для x = √(2/3): f''(√(2/3)) > 0 → минимум.
• Для x = -√(2/3): f''(-√(2/3)) < 0 → максимум.

b) f(x) = x⁴ - 2x² + 1

1. Найдите производную: f'(x) = 4x³ - 4x.
2. Приравняйте к нулю: 4x(x² - 1) = 0 → x = 0, x = ±1.
3. Найдите вторую производную: f''(x) = 12x² - 4.
4. Проверьте критические точки:
• Для x = 0: f''(0) < 0 → максимум.
• Для x = 1: f''(1) > 0 → минимум.
• Для x = -1: f''(-1) > 0 → минимум.

c) y(x) = 7 - 6x - 3x²

1. Найдите производную: y'(x) = -6 - 6x.
2. Приравняйте к нулю: -6 - 6x = 0 → x = -1.
3. Найдите вторую производную: y''(x) = -6.
4. Проверьте критическую точку:
• Для x = -1: y''(-1) < 0 → максимум.

d) y(x) = 3 + 4x² - x⁴

1. Найдите производную: y'(x) = 8x - 4x³.
2. Приравняйте к нулю: 4x(2 - x²) = 0 → x = 0, x = ±√2.
3. Найдите вторую производную: y''(x) = 8 - 12x².
4. Проверьте критические точки:
• Для x = 0: y''(0) > 0 → минимум.
• Для x = √2: y''(√2) < 0 → максимум.
• Для x = -√2: y''(-√2) < 0 → максимум.

Таким образом, мы определили критические точки и выяснили их характер для каждой функции.