Определение критических точек функции и выяснение, какие из них являются точками минимума или максимума, — это увлекательный процесс! Давайте разберем это на примере ваших функций. Для начала, нам нужно найти производную функции и определить критические точки.

Шаги для нахождения критических точек:

1. Найти первую производную функции f'(x).
2. Приравнять первую производную к нулю и решить уравнение f'(x) = 0. Это даст нам критические точки.
3. Найти вторую производную f''(x).
4. Использовать вторую производную для определения типа критических точек:
   • Если f''(x) > 0 в критической точке, то это точка минимума.
   • Если f''(x) < 0 в критической точке, то это точка максимума.
   • Если f''(x) = 0, то нужно использовать другие методы для анализа.

Теперь применим это к вашим функциям:

1. f(x) = -x⁴ + 0.5x² + 1

• Первая производная: f'(x) = -4x³ + x.
• Приравниваем к нулю: -4x³ + x = 0. Это дает: x(1 - 4x²) = 0.
• Критические точки: x = 0 и x = ±0.5.
• Теперь находим вторую производную: f''(x) = -12x² + 1.
• Для x = 0: f''(0) = 1 > 0 (точка минимума).
• Для x = ±0.5: f''(±0.5) = -12(0.5)² + 1 = -2 < 0 (точки максимума).

2. f(x) = -2x⁴ + x² - 1

• Первая производная: f'(x) = -8x³ + 2x.
• Приравниваем к нулю: -8x³ + 2x = 0. Это дает: 2x(1 - 4x²) = 0.
• Критические точки: x = 0 и x = ±0.5.
• Теперь находим вторую производную: f''(x) = -24x² + 2.
• Для x = 0: f''(0) = 2 > 0 (точка минимума).
• Для x = ±0.5: f''(±0.5) = -24(0.5)² + 2 = -8 < 0 (точки максимума).

Вот и все! Мы определили критические точки и выяснили, какие из них являются точками минимума и максимума. Это действительно захватывающий процесс, который позволяет лучше понять поведение функций!