Чтобы найти точку минимума функции Y = x^3 + 5x^2 + 7x - 5, нам необходимо выполнить несколько шагов, используя производные.

Шаг 1: Найдем первую производную функции.

Первая производная Y' показывает, как функция меняется, и позволяет нам определить критические точки, где функция может достигать минимума или максимума. Для нашей функции Y = x^3 + 5x^2 + 7x - 5, вычисляем производную:

• Y' = 3x^2 + 10x + 7

Шаг 2: Найдем критические точки.

Чтобы найти критические точки, мы приравниваем первую производную к нулю:

• 3x^2 + 10x + 7 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 * 3 * 7 = 100 - 84 = 16

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня. Найдем их:

• x1 = (-b + √D) / 2a = (-10 + 4) / 6 = -1
• x2 = (-b - √D) / 2a = (-10 - 4) / 6 = -14/6 = -7/3

Шаг 3: Определим, какой из корней является минимумом.

Теперь нам нужно проверить, какой из найденных корней соответствует минимуму функции. Для этого мы можем использовать вторую производную или подставить найденные значения x в исходную функцию Y.

Подставим x = -1 в Y:

• Y(-1) = (-1)^3 + 5*(-1)^2 + 7*(-1) - 5 = -1 + 5 - 7 - 5 = -8

Теперь подставим x = -7/3 в Y:

• Y(-7/3) = (-7/3)^3 + 5*(-7/3)^2 + 7*(-7/3) - 5
• Y(-7/3) = -343/27 + 5*49/9 - 49/3 - 5
• Y(-7/3) = -343/27 + 245/27 - 441/27 - 135/27 = -674/27 ≈ -24.89

Шаг 4: Сравним значения.

Теперь мы видим, что Y(-1) = -8 и Y(-7/3) ≈ -24.89. Значение Y(-7/3) меньше, чем Y(-1), что означает, что точка x = -7/3 соответствует минимуму функции.

Итак, ответ: Точка минимума функции Y = x^3 + 5x^2 + 7x - 5 находится при x = -7/3, а значение функции в этой точке Y(-7/3) ≈ -24.89.