Как определить критические точки функции и выяснить, какие из них являются точками максимума, а какие - точками минимума для функции F(x)=1/2x^4-x^2?

Алгебра 11 класс Критические точки и экстремумы функций критические точки функции точки максимума точки минимума F(x)=1/2x^4-x^2 алгебра 11 класс анализ функций производная функции экстремумы функции Новый

Чтобы определить критические точки функции F(x) = (1/2)x^4 - x^2 и выяснить, какие из них являются точками максимума или минимума, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции F(x):

Сначала мы найдем первую производную функции F(x). Используя правила дифференцирования, получаем:

F'(x) = 2x^3 - 2x.

2. Определить критические точки:

Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не существует. Мы приравняем F'(x) к нулю:

2x^3 - 2x = 0.

Теперь можно вынести общий множитель:

2x(x^2 - 1) = 0.

Это уравнение равно нулю, если:

• x = 0,
• x^2 - 1 = 0, что дает x = 1 и x = -1.

Таким образом, критические точки: x = -1, x = 0, x = 1.

3. Проверить, являются ли эти точки максимумами или минимумами:

Для этого мы можем использовать вторую производную или тест первой производной. Мы найдем вторую производную:

F''(x) = 6x^2 - 2.

4. Подставить критические точки во вторую производную:
• Для x = -1:

F''(-1) = 6(-1)^2 - 2 = 6 - 2 = 4 (положительно, значит, точка минимума).

• Для x = 0:

F''(0) = 6(0)^2 - 2 = -2 (отрицательно, значит, точка максимума).

• Для x = 1:

F''(1) = 6(1)^2 - 2 = 6 - 2 = 4 (положительно, значит, точка минимума).

Итак, мы определили:

• x = -1 - точка минимума,
• x = 0 - точка максимума,
• x = 1 - точка минимума.

Теперь вы знаете, как находить критические точки функции и определять их характер. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!