Чтобы найти первообразную функции f(x) = 4x³ - 2x² + 2x, мы сначала найдем неопределенный интеграл этой функции. Затем, учитывая, что первообразная проходит через точку A(2;5), мы сможем определить постоянную интегрирования.

Шаг 1: Найдем неопределенный интеграл функции f(x).

• Интегрируем каждое слагаемое функции:
1. Интеграл от 4x³: 4/4 * x^(3+1) = x^4
2. Интеграл от -2x²: -2/3 * x^(2+1) = -2/3 * x^3
3. Интеграл от 2x: 2/2 * x^(1+1) = x^2
• Таким образом, неопределенный интеграл будет:
F(x) = x^4 - (2/3)x^3 + x^2 + C, где C - постоянная интегрирования.

Шаг 2: Используем точку A(2;5) для нахождения C.

• Подставим x = 2 и F(2) = 5 в выражение для F(x):
5 = (2^4) - (2/3)*(2^3) + (2^2) + C
• Теперь вычислим каждое слагаемое:
1. (2^4) = 16
2. (2^3) = 8, следовательно, (2/3)*(2^3) = (2/3)*8 = 16/3
3. (2^2) = 4
• Теперь подставим эти значения в уравнение:
5 = 16 - (16/3) + 4 + C

Шаг 3: Упрощаем уравнение.

• Сложим 16 и 4:
20 - (16/3) + C = 5
• Перепишем 20 в виде дроби с общим знаменателем:
20 = 60/3, тогда у нас будет: 60/3 - 16/3 + C = 5
• Упростим:
(60 - 16)/3 + C = 5 44/3 + C = 5

Шаг 4: Найдем C.

• Переносим 44/3 на правую сторону:
C = 5 - 44/3
• Снова представим 5 в виде дроби:
5 = 15/3, тогда: C = 15/3 - 44/3 = -29/3

Шаг 5: Запишем окончательную формулу первообразной.

Таким образом, первообразная функции f(x) = 4x³ - 2x² + 2x, проходящая через точку A(2;5), будет: