Чтобы найти производную функции g(x) = x · √(x+1), мы будем использовать правило произведения, поскольку наша функция представляет собой произведение двух функций: u(x) = x и v(x) = √(x+1).

Правило произведения гласит, что если у нас есть функция, выраженная как произведение двух функций, то производная этого произведения дается формулой:

• (uv)' = u'v + uv'

Теперь шаг за шагом найдем производную функции g(x):

1. Определим u(x) и v(x):
• u(x) = x
• v(x) = √(x+1) = (x+1)^(1/2)
2. Найдем производную u(x):
• u'(x) = 1
3. Найдем производную v(x):
• Для нахождения производной v(x) = (x+1)^(1/2) используем правило дифференцирования степенной функции:
• v'(x) = (1/2)(x+1)^(-1/2) * 1 = 1/(2√(x+1))
4. Подставим найденные производные в формулу правила произведения:
• g'(x) = u'v + uv' = 1 * √(x+1) + x * 1/(2√(x+1))
5. Упростим выражение:
• g'(x) = √(x+1) + x/(2√(x+1))
6. Приведем к общему знаменателю:
• Общий знаменатель: 2√(x+1)
• g'(x) = (2(x+1) + x) / (2√(x+1))
• g'(x) = (2x + 2 + x) / (2√(x+1))
• g'(x) = (3x + 2) / (2√(x+1))

Таким образом, производная функции g(x) = x · √(x+1) равна g'(x) = (3x + 2) / (2√(x+1)).