Чтобы найти производную функции у, которая задана как у = √(x(3x + 1)), мы будем использовать правило производной для сложных функций и правило производной произведения.

Шаг 1: Запишем функцию в более удобной форме.

Мы можем переписать функцию у в виде:

у = (x(3x + 1))^0.5

Шаг 2: Применим правило производной для сложной функции.

Для функции вида f(x) = g(x)^n, производная будет равна:

f'(x) = n * g(x)^(n-1) * g'(x)

В нашем случае n = 0.5 и g(x) = x(3x + 1).

Шаг 3: Найдем производную g(x).

g(x) = x(3x + 1) — это произведение двух функций. Мы используем правило производной произведения:

Если u(x) = x и v(x) = (3x + 1), то:

g'(x) = u'v + uv'

• u' = 1
• v' = 3

Теперь подставим в формулу:

g'(x) = 1 * (3x + 1) + x * 3 = (3x + 1) + 3x = 6x + 1.

Шаг 4: Подставим g(x) и g'(x) в формулу для производной f(x).

Теперь мы можем найти f'(x):

f'(x) = 0.5 * (x(3x + 1))^(-0.5) * (6x + 1).

Шаг 5: Упростим выражение.

Так как мы ищем производную функции у, то:

у' = 0.5 * (x(3x + 1))^(-0.5) * (6x + 1).

Шаг 6: Запишем окончательный ответ.

Таким образом, производная функции у = √(x(3x + 1)) равна:

у' = 0.5 * (x(3x + 1))^(-0.5) * (6x + 1).

Это и есть искомая производная функции. Если потребуется, можно подставить конкретные значения x для нахождения производной в точке.