Чтобы решить уравнение lgx + lg(x - 4) = 1, мы можем использовать свойства логарифмов и выполнить несколько шагов. Давайте разберем процесс решения подробно.

1. Используем свойства логарифмов. Мы знаем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения. Поэтому мы можем переписать уравнение следующим образом:
• lgx + lg(x - 4) = lg(x(x - 4))
2. Подставляем это в уравнение:
• lg(x(x - 4)) = 1
3. Переводим логарифм в экспоненциальную форму. Если lgA = B, то A = 10^B. В нашем случае:
• x(x - 4) = 10^1
4. Упрощаем уравнение:
• x(x - 4) = 10
• x^2 - 4x - 10 = 0
5. Решаем квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант:
• D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4*1*(-10) = 16 + 40 = 56
6. Находим корни уравнения:
• x1 = (4 + sqrt(56)) / 2
• x2 = (4 - sqrt(56)) / 2
7. Упрощаем корни:
• sqrt(56) = 2*sqrt(14), поэтому:
• x1 = (4 + 2*sqrt(14)) / 2 = 2 + sqrt(14
• x2 = (4 - 2*sqrt(14)) / 2 = 2 - sqrt(14)
8. Проверяем, какие корни допустимы. Поскольку в логарифме должны быть положительные аргументы, необходимо, чтобы x > 0 и (x - 4) > 0. Это означает:
• x > 4 для второго условия.
• x1 = 2 + sqrt(14) примерно равно 5.74, подходит.
• x2 = 2 - sqrt(14) примерно равно -1.74, не подходит.
9. Таким образом, единственным корнем уравнения является:
• x = 2 + sqrt(14)

В итоге, мы нашли, что единственный корень уравнения lgx + lg(x - 4) = 1 это x = 2 + sqrt(14).