Как можно подтвердить, что функция y = sin(x/2 + 3) соответствует уравнению y^2 + (2y')^2 = 1?

Алгебра 11 класс Дифференциальные уравнения функция y = sin(x/2 + 3) уравнение y^2 + (2y')^2 = 1 подтверждение функции алгебра 11 класс решение уравнения Новый

Чтобы подтвердить, что функция y = sin(x/2 + 3) соответствует уравнению y^2 + (2y')^2 = 1, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найдем производную функции y:

   Функция y = sin(x/2 + 3) является тригонометрической функцией. Для нахождения производной y' используем правило дифференцирования синуса:

   y' = cos(x/2 + 3) * (1/2) = (1/2) * cos(x/2 + 3).

2. Подставим y и y' в уравнение:

   Теперь нам нужно подставить y и y' в уравнение y^2 + (2y')^2 = 1.

   • Сначала найдем y^2:

   y^2 = (sin(x/2 + 3))^2.

   • Теперь найдем (2y')^2:

   (2y')^2 = (2 * (1/2) * cos(x/2 + 3))^2 = (cos(x/2 + 3))^2.

3. Сложим полученные выражения:

   Теперь подставим найденные значения в уравнение:

   y^2 + (2y')^2 = (sin(x/2 + 3))^2 + (cos(x/2 + 3))^2.

4. Используем тригонометрическую идентичность:

   Согласно тригонометрической идентичности, мы знаем, что:

   (sin(θ))^2 + (cos(θ))^2 = 1 для любого угла θ.

   В нашем случае θ = (x/2 + 3), следовательно:

   (sin(x/2 + 3))^2 + (cos(x/2 + 3))^2 = 1.

5. Заключение:

   Таким образом, мы подтвердили, что:

   y^2 + (2y')^2 = 1.

   Следовательно, функция y = sin(x/2 + 3) действительно соответствует данному уравнению.