Чтобы построить график функции y = x^4 - 4x^3 + 3, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Функция y = x^4 - 4x^3 + 3 является многочленом, а значит, область определения всех многочленов - это все действительные числа. То есть, x может принимать любые значения.

Для этого найдем производную функции и приравняем её к нулю.

• Находим производную: y' = 4x^3 - 12x^2.
• Приравниваем производную к нулю: 4x^3 - 12x^2 = 0.
• Факторизуем: 4x^2(x - 3) = 0.
• Находим корни: x = 0 и x = 3.

Теперь мы можем определить, на каких интервалах функция возрастает, а на каких убывает, исследуя знак производной.

• Выбираем точки для тестирования: например, x = -1, x = 1, x = 2, x = 4.
• Подставляем эти значения в производную:
• y'(-1) = 4(-1)^3 - 12(-1)^2 = -16 (убывает)
• y'(1) = 4(1)^3 - 12(1)^2 = -8 (убывает)
• y'(2) = 4(2)^3 - 12(2)^2 = 0 (точка минимума)
• y'(4) = 4(4)^3 - 12(4)^2 = 16 (возрастает)
• Таким образом, функция убывает на интервале (-∞, 0) и (0, 3),и возрастает на интервале (3, +∞).

Теперь вычислим значения функции в критических точках и в точках, где производная равна нулю.

• y(0) = 0^4 - 4*0^3 + 3 = 3.
• y(3) = 3^4 - 4*3^3 + 3 = 81 - 108 + 3 = -24.

Для построения графика также полезно найти значения функции в некоторых других точках:

• y(-1) = (-1)^4 - 4*(-1)^3 + 3 = 1 + 4 + 3 = 8.
• y(1) = 1^4 - 4*1^3 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0.
• y(2) = 2^4 - 4*2^3 + 3 = 16 - 32 + 3 = -13.
• y(4) = 4^4 - 4*4^3 + 3 = 256 - 256 + 3 = 3.

Теперь, когда у нас есть значения функции и информация о её возрастании и убывании, мы можем построить график. Нанесем на координатную плоскость следующие точки:

• (-1, 8)
• (0, 3)
• (1, 0)
• (2, -13)
• (3, -24)
• (4, 3)

Соединив эти точки, мы получим график функции. Обратите внимание, что график будет иметь форму, характерную для четных степеней, с минимумом в точке (3, -24).

Таким образом, мы построили график функции y = x^4 - 4x^3 + 3, проанализировав её свойства и значения в ключевых точках.