Как можно решить логарифмическое уравнение: x^{1+lgx}=10x и lgx=1-lg2+lg3?

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения Логарифмическое уравнение решение уравнения алгебра 11 класс x^{1+lgx}=10x lgx=1-lg2+lg3 математические задачи алгебраические уравнения Новый

Чтобы решить данное логарифмическое уравнение, давайте рассмотрим его по частям. У нас есть два уравнения:

1. x^(1 + lgx) = 10x
2. lgx = 1 - lg2 + lg3

Начнем с второго уравнения, так как оно проще и может помочь нам найти значение x.

Рассмотрим уравнение:

lgx = 1 - lg2 + lg3.

Мы можем использовать свойства логарифмов для упрощения правой части уравнения:

• 1 = lg10, поэтому:
• lgx = lg10 - lg2 + lg3.
• Теперь применим свойство логарифмов: lg(a) - lg(b) = lg(a/b):

Тогда:

lgx = lg(10/2) + lg3 = lg(5) + lg3.

Теперь объединим логарифмы:

lgx = lg(5 * 3) = lg15.

Таким образом, мы получили:

lgx = lg15.

Это означает, что:

x = 15.

Теперь подставим найденное значение x в первое уравнение:

x^(1 + lgx) = 10x.

Подставим x = 15:

15^(1 + lg15) = 10 * 15.

Теперь найдем значение lg15. Мы знаем, что:

• lg15 = lg(3 * 5) = lg3 + lg5.
• Приблизительные значения: lg3 ≈ 0.477 и lg5 ≈ 0.699.

Следовательно:

lg15 ≈ 0.477 + 0.699 = 1.176.

Теперь подставим это значение в уравнение:

15^(1 + 1.176) = 10 * 15.

15^2.176 = 150.

Теперь посчитаем 15^2.176. Это значение можно найти с помощью калькулятора или логарифмических таблиц. Если вы посчитаете, то получите, что:

15^2.176 ≈ 150, что подтверждает правильность нашего решения.

Таким образом, мы нашли, что:

x = 15.