Для решения уравнения 1/(lg x + lg 0,1) + 1/lg x = 3/2, начнем с упрощения выражений. Мы знаем, что lg 0,1 можно выразить через логарифм:

Шаг 1: Упростим lg 0,1

• lg 0,1 = lg (10^(-1)) = -1.

Теперь подставим это значение в уравнение:

1/(lg x - 1) + 1/lg x = 3/2.

Шаг 2: Обозначим lg x как y

Таким образом, мы можем переписать уравнение:

1/(y - 1) + 1/y = 3/2.

Шаг 3: Найдем общий знаменатель

Общий знаменатель для дробей (y - 1) и y будет y(y - 1). Умножим обе части уравнения на этот общий знаменатель:

y(y - 1) * (1/(y - 1) + 1/y) = y(y - 1) * (3/2).

После умножения получаем:

y + (y - 1) = (3/2) * y(y - 1).

Шаг 4: Упростим уравнение

Слева у нас будет:

2y - 1 = (3/2)(y^2 - y).

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

4y - 2 = 3(y^2 - y).

Шаг 5: Переносим все в одну сторону

Переносим все с одной стороны уравнения:

3y^2 - 7y + 2 = 0.

Шаг 6: Решим квадратное уравнение

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 3 * 2 = 49 - 24 = 25.

Так как D > 0, у нас есть два различных корня:

y1 = (7 + sqrt(25)) / (2 * 3) = (7 + 5) / 6 = 2;

y2 = (7 - sqrt(25)) / (2 * 3) = (7 - 5) / 6 = 1/3.

Шаг 7: Подставим обратно значение y

Теперь вспомним, что y = lg x:

lg x = 2 => x = 10^2 = 100;

lg x = 1/3 => x = 10^(1/3) = корень кубический из 10.

Шаг 8: Проверка

Проверим оба корня в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они подходят.

Таким образом, окончательные решения уравнения:

• x = 100;
• x = корень кубический из 10.