Как можно решить уравнение 2ctg^2(x) + ctg(x) - 1 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрических функций решение уравнения алгебра 11 класс ctg(x) уравнение 2ctg^2(x) методы решения уравнений тригонометрические уравнения математические задачи algebra ctg уравнения с ctg Новый

Для решения уравнения 2ctg^2(x) + ctg(x) - 1 = 0, начнем с того, что обозначим ctg(x) как новую переменную. Пусть:

y = ctg(x)

Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

2y^2 + y - 1 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

В нашем случае:

• a = 2
• b = 1
• c = -1

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

1. Сначала вычислим дискриминант:
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9
2. Теперь найдем корни:
y1 = (-1 + √9) / (2 * 2) = (-1 + 3) / 4 = 2 / 4 = 1/2 y2 = (-1 - √9) / (2 * 2) = (-1 - 3) / 4 = -4 / 4 = -1

Таким образом, мы получили два значения для y:

• y1 = 1/2
• y2 = -1

Теперь вернемся к переменной ctg(x). У нас есть два случая:

1. ctg(x) = 1/2

Для нахождения x, используем определение котангенса:

ctg(x) = 1/tan(x)

Тогда:

tan(x) = 2

Решаем это уравнение:

x = arctan(2) + kπ, где k - целое число

2. ctg(x) = -1

Снова используем определение котангенса:

ctg(x) = -1

Это означает:

tan(x) = -1

Решаем это уравнение:

x = arctan(-1) + kπ = -π/4 + kπ, где k - целое число

Таким образом, окончательные ответы для x:

• x = arctan(2) + kπ
• x = -π/4 + kπ

Где k - любое целое число. Это и есть все решения данного уравнения.