Как можно решить уравнение 4*(1/16)^х + 15*(1/4)^х - 4 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения с показательной функцией решение уравнения алгебра 11 класс уравнение 4*(1/16)^х уравнение 15*(1/4)^х методы решения уравнений Новый

Решим уравнение 4*(1/16)^x + 15*(1/4)^x - 4 = 0 шаг за шагом.

Первое, что стоит заметить, это то, что 1/16 можно представить как (1/4)^2. Таким образом, мы можем переписать уравнение следующим образом:

• (1/16)^x = ((1/4)^2)^x = (1/4)^(2x)

Теперь подставим это в уравнение:

4*(1/4)^(2x) + 15*(1/4)^x - 4 = 0

Далее, чтобы упростить уравнение, сделаем замену переменной. Пусть:

• y = (1/4)^x

Тогда (1/4)^(2x) = y^2. Подставим это в уравнение:

4*y^2 + 15*y - 4 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a), где a = 4, b = 15, c = -4.

Подставим значения a, b и c:

• b^2 - 4ac = 15^2 - 4*4*(-4) = 225 + 64 = 289

Теперь найдем корни:

• y = (-15 ± √289) / (2*4)
• √289 = 17, следовательно:
• y1 = (-15 + 17) / 8 = 2 / 8 = 1/4
• y2 = (-15 - 17) / 8 = -32 / 8 = -4

Теперь у нас есть два значения y: y1 = 1/4 и y2 = -4. Но так как y = (1/4)^x, значение y не может быть отрицательным. Таким образом, мы оставляем только y1.

Теперь вернемся к нашей замене:

(1/4)^x = 1/4

Это уравнение можно решить, заметив, что:

• (1/4)^x = (1/4)^1

Таким образом, x = 1.

Итак, окончательный ответ:

x = 1