Как решить уравнение (1/5)^(1-x)-(1/5)^x = 4,96?

Алгебра 11 класс Уравнения с показательной функцией алгебра 11 класс решение уравнения (1/5)^(1-x) (1/5)^x уравнение математические задачи exponentiation logarithmic equations учебные материалы подготовка к экзаменам Новый

Для решения уравнения (1/5)^(1-x)-(1/5)^x = 4,96 начнем с преобразования его в более удобный вид.

Обратите внимание, что (1/5)^(1-x) можно записать как 5^(x-1). Это происходит потому, что (1/5) = 5^(-1), и тогда (1/5)^(1-x) = 5^(-1)^(1-x) = 5^(x-1).

А второе слагаемое (1/5)^x можно записать как 5^(-x).

Таким образом, наше уравнение можно переписать так:

5^(x-1) - 5^(-x) = 4,96

Теперь сделаем замену переменной. Пусть t = 5^x. Тогда 5^(-x) = 1/t, и мы можем переписать уравнение:

t/5 - 1/t = 4,96

Умножим все на 5t, чтобы избавиться от дробей:

t^2 - 5 - 4,96*5t = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

t^2 - 24,8t - 5 = 0

Для решения квадратного уравнения используем дискриминант D = b^2 - 4ac. В нашем случае a = 1, b = -24,8, c = -5. Подставим значения:

D = (-24,8)^2 - 41(-5) = 615,04 + 20 = 635,04

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

t = ( -b ± √D ) / 2a

Подставим значения:

t = (24,8 ± √635,04) / 2

Вычислим корни:

t1 = (24,8 + 25,2) / 2 = 25 и t2 = (24,8 - 25,2) / 2 = -0,2 (второй корень не имеет смысла, так как t = 5^x не может быть отрицательным).

Теперь, когда мы нашли t = 25, возвращаемся к замене:

25 = 5^x

Из этого уравнения решаем для x: x = 2.

Таким образом, решение уравнения (1/5)^(1-x)-(1/5)^x = 4,96 будет x = 2.