Решите уравнение 2*16^(cosx) - 9*4^(cosx) + 4 = 0 и найдите корни в промежутке [-3П; -3П/2]

Алгебра 11 класс Уравнения с показательной функцией уравнение алгебра корни промежуток косинус 16 4 решение математика Тригонометрия Новый

Привет! Давай вместе решим это уравнение. У нас есть:

2*16^(cosx) - 9*4^(cosx) + 4 = 0.

Сначала давай упростим выражение. Заметили, что 16 можно представить как 4^2? Тогда:

• 16^(cosx) = (4^2)^(cosx) = 4^(2*cosx).

Теперь подставим это в уравнение:

2*4^(2*cosx) - 9*4^(cosx) + 4 = 0.

Теперь сделаем замену: пусть y = 4^(cosx). Тогда уравнение примет вид:

2*y^2 - 9*y + 4 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем формулу для нахождения корней:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 2, b = -9, c = 4.

• b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4*2*4 = 81 - 32 = 49.
• Теперь подставим в формулу: y = (9 ± √49) / (2*2) = (9 ± 7) / 4.

Получаем два корня:

• y1 = (9 + 7) / 4 = 16 / 4 = 4,
• y2 = (9 - 7) / 4 = 2 / 4 = 0.5.

Теперь вернемся к нашей замене y = 4^(cosx):

• 4^(cosx) = 4 => cosx = 1,
• 4^(cosx) = 0.5 => cosx = -0.5.

Теперь найдем x для каждого случая.

1. Для cosx = 1:

• x = 2kπ, где k — любое целое число.

2. Для cosx = -0.5:

• x = 2kπ ± 2π/3, где k — любое целое число.

Теперь ищем корни в промежутке [-3π; -3π/2].

Для cosx = 1:

• k = -2: x = 2*(-2)π = -4π (не подходит),
• k = -1: x = 2*(-1)π = -2π (не подходит),
• k = 0: x = 0 (не подходит).

Для cosx = -0.5:

• k = -2: x = 2*(-2)π ± 2π/3 = -4π ± 2π/3 (не подходит),
• k = -1: x = 2*(-1)π ± 2π/3 = -2π ± 2π/3 = -2π + 2π/3 = -6π/3 + 2π/3 = -4π/3 (подходит) и -2π - 2π/3 = -6π/3 - 2π/3 = -8π/3 (не подходит),
• k = 0: x = 0 ± 2π/3 (не подходит).

Таким образом, единственный корень в промежутке [-3π; -3π/2] — это:

x = -4π/3.

Надеюсь, это поможет! Если есть вопросы, пиши!