Как решить уравнение 4 в степени x^2-2x+1 + 4 в степени x^2-2x = 20?

Алгебра 11 класс Уравнения с показательной функцией решение уравнения алгебра 4 в степени x^2-2x+1 x^2-2x уравнение математическая задача алгебраические уравнения exponentiation логарифмы Новый

Чтобы решить уравнение 4^(x^2 - 2x + 1) + 4^(x^2 - 2x) = 20, начнем с упрощения выражений.

Шаг 1: Замена переменной

Обратим внимание на выражение x^2 - 2x + 1. Это можно переписать как (x - 1)^2. Таким образом, у нас есть:

• 4^(x^2 - 2x + 1) = 4^((x - 1)^2)
• 4^(x^2 - 2x) = 4^( (x - 1)^2 - 1) = 4^(x - 1)^2 / 4

Теперь уравнение можно переписать так:

4^((x - 1)^2) + 4^((x - 1)^2 - 1) = 20

Шаг 2: Введение новой переменной

Для упрощения введем новую переменную:

y = 4^(x - 1)^2.

Тогда у нас получается:

• 4^((x - 1)^2) = y
• 4^((x - 1)^2 - 1) = y / 4

Теперь уравнение выглядит так:

y + y / 4 = 20.

Шаг 3: Приведение к общему знаменателю

Умножим все на 4, чтобы избавиться от дроби:

4y + y = 80.

Это упрощается до:

5y = 80.

Шаг 4: Решение для y

Теперь найдем y:

y = 80 / 5 = 16.

Шаг 5: Возвращение к x

Теперь мы знаем, что:

4^(x - 1)^2 = 16.

Поскольку 16 = 4^2, можем записать:

(x - 1)^2 = 2.

Шаг 6: Решение квадратного уравнения

Теперь решим уравнение:

• x - 1 = √2 → x = 1 + √2
• x - 1 = -√2 → x = 1 - √2

Шаг 7: Запись окончательного ответа

Таким образом, у нас есть два решения:

• x = 1 + √2
• x = 1 - √2

Эти значения являются окончательными решениями уравнения 4^(x^2 - 2x + 1) + 4^(x^2 - 2x) = 20.