Чтобы решить уравнение 4cos x + 8sin x = 7 в пределах интервала (-π; π),следуем следующим шагам:

1. Перепишем уравнение: У нас есть уравнение 4cos x + 8sin x = 7. Для удобства давайте выразим его в более стандартной форме.
2. Приведем уравнение к стандартному виду: Мы можем использовать метод приведения к одному тригонометрическому выражению. Для этого найдем коэффициенты a и b, где a = 4, b = 8. Теперь найдем R и угол α:
• R = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(4^2 + 8^2) = sqrt(16 + 64) = sqrt(80) = 4sqrt(5).
• tan(α) = b/a = 8/4 = 2, значит α = arctan(2).
3. Теперь перепишем уравнение: Мы можем выразить 4cos x + 8sin x как Rcos(x - α),где R = 4sqrt(5) и α = arctan(2). Таким образом, уравнение становится:
• 4sqrt(5)cos(x - arctan(2)) = 7.
4. Решим для cos: Делим обе стороны на 4sqrt(5):
• cos(x - arctan(2)) = 7/(4sqrt(5)).
5. Проверим, возможно ли это: Значение cos может варьироваться от -1 до 1. Проверим, является ли 7/(4sqrt(5)) допустимым значением:
• 4sqrt(5) ≈ 8.944, следовательно, 7/(4sqrt(5)) ≈ 0.783. Это значение допустимо, так как оно находится в пределах от -1 до 1.
6. Теперь найдем x: Используем обратную функцию косинуса:
• x - arctan(2) = ±arccos(7/(4sqrt(5))).
• x = arctan(2) ± arccos(7/(4sqrt(5))).
7. Найдем конкретные значения: Теперь нам нужно вычислить значения x, подставив arctan(2) и arccos(7/(4sqrt(5))) в выражение.
8. Определим интервал: Поскольку мы ищем решения в интервале (-π; π),нам нужно проверить, попадают ли найденные значения в этот интервал.

Таким образом, у нас есть два значения для x:

• x1 = arctan(2) + arccos(7/(4sqrt(5)))
• x2 = arctan(2) - arccos(7/(4sqrt(5)))

Не забудьте проверить, что оба значения x1 и x2 находятся в пределах интервала (-π; π). Если одно из значений выходит за пределы, нужно будет скорректировать его, добавив или вычтя 2π.