Как можно решить уравнение 5^х - 14 × 5^(х-1) + 3 × 5^(х+1) = 66?

Алгебра 11 класс Уравнения с показательной функцией решение уравнения алгебра 11 класс уравнение 5^х 5^(х-1) 5^(х+1) методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение 5^x - 14 × 5^(x-1) + 3 × 5^(x+1) = 66, давайте сначала упростим его. Заметим, что 5^(x-1) и 5^(x+1) можно выразить через 5^x.

• 5^(x-1) = 5^x / 5
• 5^(x+1) = 5^x × 5

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

5^x - 14 × (5^x / 5) + 3 × (5^x × 5) = 66

Упростим каждое слагаемое:

• - 14 × (5^x / 5) = -14/5 × 5^x
• 3 × (5^x × 5) = 15 × 5^x

Теперь перепишем уравнение, объединив все слагаемые:

5^x - (14/5) × 5^x + 15 × 5^x = 66

Объединим коэффициенты при 5^x:

5^x (1 - 14/5 + 15) = 66

Теперь найдем общий знаменатель для выражения в скобках:

• 1 = 5/5
• -14/5 = -14/5
• 15 = 75/5

Теперь можем сложить:

5^x (5/5 - 14/5 + 75/5) = 66

Это упрощается до:

5^x (66/5) = 66

Теперь умножим обе стороны на 5:

5^x × 66 = 330

Теперь разделим обе стороны на 66:

5^x = 5

Так как 5 можно выразить как 5^1, мы можем записать:

5^x = 5^1

Теперь, если основания равны, то и показатели равны:

x = 1

Таким образом, решением уравнения является x = 1.