Давайте решим уравнение 8sin^3x - 6sinx + 1 = 0 пошагово.

1. Замена переменной: В данном уравнении мы можем сделать замену. Обозначим y = sinx. Тогда уравнение примет вид:

8y^3 - 6y + 1 = 0

2. Поиск корней уравнения: Теперь нам нужно найти корни кубического уравнения. Мы можем использовать метод проб и ошибок или теорему Виета для нахождения рациональных корней. Проверим некоторые простые значения:

• y = 1: 8(1)^3 - 6(1) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3 (не корень)
• y = 0: 8(0)^3 - 6(0) + 1 = 1 (не корень)
• y = -1: 8(-1)^3 - 6(-1) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1 (не корень)

Теперь попробуем более сложное значение:

• y = 1/2: 8(1/2)^3 - 6(1/2) + 1 = 8(1/8) - 3 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 (не корень)
• y = -1/2: 8(-1/2)^3 - 6(-1/2) + 1 = 8(-1/8) + 3 + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 (не корень)
• y = 1/3: 8(1/3)^3 - 6(1/3) + 1 = 8/27 - 2 + 1 = 8/27 - 54/27 + 27/27 = -19/27 (не корень)

Проверив несколько значений, мы можем заметить, что корни не находятся среди простых дробей. Теперь попробуем воспользоваться формулой Кардано или численными методами для нахождения корней.

3. Использование графического метода: Мы можем построить график функции f(y) = 8y^3 - 6y + 1 и найти точки пересечения с осью абсцисс. Это даст нам приближенные значения корней.

4. Нахождение корней с помощью численных методов: Например, используя метод Ньютона, мы можем найти корни уравнения более точно.

5. Обратная замена: После нахождения корней y, мы возвращаемся к переменной x, используя sinx = y. Например, если мы нашли корень y = a, то x = arcsin(a) + 2πk или x = π - arcsin(a) + 2πk, где k - целое число.

6. Проверка: Не забудьте проверить найденные значения x, подставив их обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они являются решениями.

Таким образом, мы можем решить уравнение 8sin^3x - 6sinx + 1 = 0, найдя корни кубического уравнения и затем решив для sinx.