Как можно решить уравнение: lg^2 * x - 3lg(10x)=1?

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс Логарифмическое уравнение lg^2 x 3lg(10x)

Привет! Давай разберем это уравнение вместе. У нас есть:

lg^2(x) - 3lg(10x) = 1

Сначала давай упростим вторую часть уравнения. Помни, что lg(10x) можно разложить:

• lg(10x) = lg(10) + lg(x)
• lg(10) = 1, так что мы получаем: lg(10x) = 1 + lg(x)

Теперь подставим это обратно в уравнение:

lg^2(x) - 3(1 + lg(x)) = 1

Раскроем скобки:

lg^2(x) - 3 - 3lg(x) = 1

Теперь перенесем все в одну сторону:

lg^2(x) - 3lg(x) - 4 = 0

Это квадратное уравнение относительно lg(x). Давай обозначим lg(x) как y:

y^2 - 3y - 4 = 0

Теперь решим его с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*1*(-4) = 9 + 16 = 25

Теперь найдем корни уравнения:

y1,2 = (3 ± √25) / 2

Это дает нам:

• y1 = (3 + 5) / 2 = 4
• y2 = (3 - 5) / 2 = -1

Теперь вспомним, что y = lg(x). Получаем:

• lg(x) = 4, значит, x = 10^4 = 10000
• lg(x) = -1, значит, x = 10^(-1) = 0.1

Итак, у нас есть два решения:

• x = 10000
• x = 0.1

Вот и все! Если что-то непонятно, дай знать, я помогу!

Для решения уравнения lg^2 * x - 3lg(10x) = 1 начнем с того, что упростим выражение, содержащее логарифмы.

1. Вспомним, что lg(10x) можно разложить на сумму логарифмов:

• lg(10x) = lg(10) + lg(x) = 1 + lg(x), так как lg(10) = 1.

2. Подставим это в наше уравнение:

• lg^2(x) - 3(1 + lg(x)) = 1.

3. Раскроем скобки:

• lg^2(x) - 3 - 3lg(x) = 1.

4. Переносим 1 на левую сторону:

• lg^2(x) - 3lg(x) - 4 = 0.

5. Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно lg(x). Обозначим lg(x) как y:

• y^2 - 3y - 4 = 0.

6. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25.

7. Найдем корни уравнения:

• y1 = (3 + sqrt(25)) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4 / 2 = 2;
• y2 = (3 - sqrt(25)) / 2 = (3 - 5) / 2 = -2 / 2 = -1.

8. Теперь вернемся к переменной x. Мы знаем, что y = lg(x), следовательно:

• lg(x) = 2 => x = 10^2 = 100;
• lg(x) = -1 => x = 10^(-1) = 0.1.

9. Таким образом, мы нашли два решения уравнения:

• x1 = 100;
• x2 = 0.1.

10. В заключение, проверим, что оба решения положительны, так как логарифм определен только для положительных чисел. Оба значения удовлетворяют этому условию.

Ответ: x = 100 и x = 0.1.