Как можно решить уравнение log^2 по основанию 3х - log3x = 2?

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения решение уравнения логарифмы алгебра 11 класс log^2 основание 3 log3x математические уравнения алгебраические методы Новый

Решим уравнение log^2 по основанию 3х - log3x = 2. Для начала давайте упростим выражение и сделаем замену переменной.

Обозначим:

• y = log3x (логарифм по основанию 3 от x).

Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

• y^2 - y - 2 = 0.

Теперь это квадратное уравнение, и мы можем решить его с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

• y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

где a = 1, b = -1, c = -2.

Подставим значения a, b и c в формулу:

• y = (1 ± √((-1)^2 - 4 * 1 * (-2))) / (2 * 1),

что упрощается до:

• y = (1 ± √(1 + 8)) / 2,

или:

• y = (1 ± √9) / 2,

что дает:

• y = (1 ± 3) / 2.

Теперь вычислим два возможных значения y:

• y1 = (1 + 3) / 2 = 4,
• y2 = (1 - 3) / 2 = -1.

Теперь вернемся к нашей замене. Мы имеем:

• log3x = 4 и log3x = -1.

Решим первое уравнение:

• log3x = 4 означает, что x = 3^4 = 81.

Теперь решим второе уравнение:

• log3x = -1 означает, что x = 3^(-1) = 1/3.

Таким образом, у нас есть два решения уравнения:

• x = 81,
• x = 1/3.

Итак, ответ: x = 81 и x = 1/3.