Как можно решить уравнение log2^2(x) + 4log2(2x) - 9 = 0?

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения решение уравнения логарифмы алгебра 11 класс log2 уравнение log2^2 математические методы алгебраические уравнения Новый

Для решения уравнения log2^2(x) + 4log2(2x) - 9 = 0 начнем с упрощения логарифмических выражений. Мы можем использовать свойства логарифмов, чтобы выразить log2(2x) через log2(x).

Согласно свойству логарифмов, log2(2x) = log2(2) + log2(x). Поскольку log2(2) = 1, мы можем записать:

• log2(2x) = 1 + log2(x)

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

log2^2(x) + 4(1 + log2(x)) - 9 = 0

Раскроем скобки:

log2^2(x) + 4 + 4log2(x) - 9 = 0

Соберем все члены уравнения:

log2^2(x) + 4log2(x) - 5 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно log2(x). Обозначим y = log2(x). Тогда уравнение принимает вид:

y^2 + 4y - 5 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 4, c = -5.

Посчитаем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36

Теперь найдем корни:

• y1 = (-4 + √36) / 2 = (-4 + 6) / 2 = 2 / 2 = 1
• y2 = (-4 - √36) / 2 = (-4 - 6) / 2 = -10 / 2 = -5

Теперь у нас есть два значения для y: y1 = 1 и y2 = -5.

Теперь вернемся к переменной x:

• Для y1 = 1: log2(x) = 1 ⇒ x = 2^1 = 2.
• Для y2 = -5: log2(x) = -5 ⇒ x = 2^(-5) = 1/32.

Таким образом, у нас есть два решения уравнения:

• x = 2
• x = 1/32

Итак, окончательные ответы: x = 2 и x = 1/32.