Как можно решить уравнение log3(2x-1) + log3(x-1) = 1?

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения решение уравнения логарифмы алгебра 11 класс log3 уравнение log3 свойства логарифмов математические задачи алгебраические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение log3(2x-1) + log3(x-1) = 1, мы можем воспользоваться свойствами логарифмов и решить его шаг за шагом. Давайте начнем.

1. Используем свойство логарифмов, которое гласит, что log(a) + log(b) = log(ab). Применим это свойство к нашему уравнению:

   log3((2x-1)(x-1)) = 1

2. Теперь мы можем избавиться от логарифма, используя определение логарифма. У нас есть:

   (2x-1)(x-1) = 3^1

   Это означает, что:

   (2x-1)(x-1) = 3

3. Теперь раскроем скобки:

   2x^2 - 2x - x + 1 = 3

   Соберем все члены в одном уравнении:

   2x^2 - 3x + 1 - 3 = 0

   Упрощаем:

   2x^2 - 3x - 2 = 0

4. Теперь мы можем решить квадратное уравнение 2x^2 - 3x - 2 = 0 с помощью формулы дискриминанта:

   Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 2, b = -3, c = -2:

   D = (-3)^2 - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25

5. Теперь находим корни уравнения по формуле:

   x = (-b ± √D) / (2a)

   Подставляем значения:

   x = (3 ± √25) / (2 * 2)

   x = (3 ± 5) / 4

6. Теперь находим два корня:

   • x1 = (3 + 5) / 4 = 8 / 4 = 2
   • x2 = (3 - 5) / 4 = -2 / 4 = -0.5

7. Теперь проверим, какие из найденных корней подходят для нашего логарифмического уравнения. Логарифм определен только для положительных аргументов:

   • Для x1 = 2:
     2x - 1 = 3 (положительно), x - 1 = 1 (положительно) - подходит.
   • Для x2 = -0.5:
     2x - 1 = -2 (отрицательно), x - 1 = -1.5 (отрицательно) - не подходит.

Таким образом, единственным решением уравнения является x = 2.