Как можно решить уравнение log3 (cos(п - х) + sin2x + 9) = 2?

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения решение уравнения Логарифмическое уравнение алгебра 11 класс cos(п - х) sin2x математические методы логарифмы Тригонометрия Новый

Чтобы решить уравнение log3 (cos(п - х) + sin2x + 9) = 2, начнем с преобразования логарифмического уравнения в экспоненциальную форму. Логарифм с основанием 3 равен 2, если аргумент логарифма равен 3 в квадрате. То есть:

cos(п - х) + sin2x + 9 = 3^2

Это упрощается до:

cos(п - х) + sin2x + 9 = 9

Теперь уберем 9 из обеих сторон уравнения:

cos(п - х) + sin2x = 0

Затем воспользуемся свойствами тригонометрических функций. Мы знаем, что:

• cos(п - х) = -cos(x)
• sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Подставим это в уравнение:

-cos(x) + 2sin(x)cos(x) = 0

Теперь вынесем общий множитель cos(x):

cos(x)(-1 + 2sin(x)) = 0

Это уравнение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассмотрим оба случая:

1. cos(x) = 0
2. -1 + 2sin(x) = 0

Решим первый случай:

cos(x) = 0

Это происходит, когда:

x = (2k + 1) * (п/2), k ∈ Z

Теперь решим второй случай:

-1 + 2sin(x) = 0

Перепишем его:

2sin(x) = 1

Следовательно:

sin(x) = 1/2

Это происходит, когда:

x = π/6 + 2kπ или x = 5π/6 + 2kπ, k ∈ Z

Теперь у нас есть все решения:

• x = (2k + 1) * (п/2), k ∈ Z
• x = π/6 + 2kπ, k ∈ Z
• x = 5π/6 + 2kπ, k ∈ Z

Таким образом, мы нашли все возможные решения уравнения.