Похожие вопросы
2025-02-27 04:30:22
Как можно решить уравнение log3 (cos(п - х) + sin2x + 9) = 2?
Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения решение уравнения Логарифмическое уравнение алгебра 11 класс cos(п - х) sin2x математические методы логарифмы Тригонометрия
2025-02-27 04:30:32
Чтобы решить уравнение log3 (cos(п - х) + sin2x + 9) = 2, начнем с преобразования логарифмического уравнения в экспоненциальную форму. Логарифм с основанием 3 равен 2, если аргумент логарифма равен 3 в квадрате. То есть:
cos(п - х) + sin2x + 9 = 3^2
Это упрощается до:
cos(п - х) + sin2x + 9 = 9
Теперь уберем 9 из обеих сторон уравнения:
cos(п - х) + sin2x = 0
Затем воспользуемся свойствами тригонометрических функций. Мы знаем, что:
- cos(п - х) = -cos(x)
- sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
Подставим это в уравнение:
-cos(x) + 2sin(x)cos(x) = 0
Теперь вынесем общий множитель cos(x):
cos(x)(-1 + 2sin(x)) = 0
Это уравнение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассмотрим оба случая:
- cos(x) = 0
- -1 + 2sin(x) = 0
Решим первый случай:
cos(x) = 0
Это происходит, когда:
x = (2k + 1) * (п/2), k ∈ Z
Теперь решим второй случай:
-1 + 2sin(x) = 0
Перепишем его:
2sin(x) = 1
Следовательно:
sin(x) = 1/2
Это происходит, когда:
x = π/6 + 2kπ или x = 5π/6 + 2kπ, k ∈ Z
Теперь у нас есть все решения:
- x = (2k + 1) * (п/2), k ∈ Z
- x = π/6 + 2kπ, k ∈ Z
- x = 5π/6 + 2kπ, k ∈ Z
Таким образом, мы нашли все возможные решения уравнения.
