Для решения уравнения Tg^3 x - tg^2 x + 2tg x - 2 = 0, начнем с замены переменной. Обозначим tg x = t. Тогда наше уравнение преобразуется в кубическое уравнение:

t^3 - t^2 + 2t - 2 = 0

Теперь мы можем попытаться решить это уравнение различными методами. Начнем с поиска рациональных корней с помощью теоремы о рациональных корнях. По этой теореме, возможные рациональные корни могут быть делителями свободного члена (в данном случае -2) и старшего коэффициента (в данном случае 1).

Делители -2: ±1, ±2. Проверим эти значения:

• Подставим t = 1:

1^3 - 1^2 + 2*1 - 2 = 1 - 1 + 2 - 2 = 0. Значит, t = 1 является корнем.

• Подставим t = -1:

(-1)^3 - (-1)^2 + 2*(-1) - 2 = -1 - 1 - 2 - 2 = -6 (не корень).

• Подставим t = 2:

2^3 - 2^2 + 2*2 - 2 = 8 - 4 + 4 - 2 = 6 (не корень).

• Подставим t = -2:

(-2)^3 - (-2)^2 + 2*(-2) - 2 = -8 - 4 - 4 - 2 = -18 (не корень).

Итак, мы нашли один корень t = 1. Теперь можем разложить кубическое уравнение на множители, используя этот корень:

t^3 - t^2 + 2t - 2 = (t - 1)(t^2 + at + b).

Для нахождения коэффициентов a и b, воспользуемся методом деления многочленов или подберем их, чтобы восстановить исходное уравнение:

При делении (t^3 - t^2 + 2t - 2) на (t - 1) получаем:

t^2 + 2 (проверяем: t^2 * (t - 1) = t^3 - t^2, затем 2t - 2, и 2 * (t - 1) = 2t - 2).

Таким образом, мы можем записать:

(t - 1)(t^2 + 2) = 0.

Теперь у нас есть два множителя:

1. t - 1 = 0, что дает t = 1;
2. t^2 + 2 = 0, что дает t^2 = -2, и t = ±i√2 (комплексные корни).

Теперь вернемся к нашей замене t = tg x. Мы имеем:

tg x = 1.

Решим это уравнение:

tg x = 1, когда x = π/4 + kπ, где k - любое целое число.

Комплексные корни t = ±i√2 не имеют действительных решений для tg x, так как тангенс определен только для действительных чисел.

Ответ: x = π/4 + kπ, где k – любое целое число.