Чтобы составить уравнение касательной к графику функции в заданной точке, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти значение функции в заданной точке:
   • Функция дана как y = x^(-1/3).
   • Подставляем x = 1/8 в функцию: y = (1/8)^(-1/3).
   • Воспользуемся свойством степени: (a^b)^c = a^(b*c).
   • Таким образом, (1/8)^(-1/3) = 1^(1/3) / 8^(1/3).
   • 1^(1/3) = 1, а 8^(1/3) = 2, так как 2^3 = 8.
   • Следовательно, y = 1/2.
2. Найти производную функции:
   • Производная функции y = x^(-1/3) находится по правилу производной степенной функции.
   • Если y = x^n, то y' = n * x^(n-1).
   • В нашем случае n = -1/3, значит y' = (-1/3) * x^((-1/3) - 1).
   • Это упрощается до y' = (-1/3) * x^(-4/3).
3. Подставить значение x в производную для нахождения углового коэффициента касательной:
   • Найдём y' в точке x = 1/8: y' = (-1/3) * (1/8)^(-4/3).
   • Используем аналогичное свойство степени: (1/8)^(-4/3) = 1^(4/3) / 8^(4/3).
   • Теперь 8^(4/3) = (8^(1/3))^4 = 2^4 = 16.
   • Таким образом, y' = (-1/3) * 16 = -16/3.
4. Составить уравнение касательной:
   • Уравнение касательной имеет вид y = kx + b, где k — угловой коэффициент, а b — свободный член.
   • Мы уже нашли k = -16/3.
   • Теперь воспользуемся точкой (1/8, 1/2) для нахождения b.
   • Подставляем в уравнение: 1/2 = (-16/3) * (1/8) + b.
   • Вычисляем: 1/2 = -2/3 + b.
   • Из этого следует, что b = 1/2 + 2/3.
   • Приведём к общему знаменателю: 1/2 = 3/6 и 2/3 = 4/6.
   • Сложим: b = 3/6 + 4/6 = 7/6.
5. Записать окончательное уравнение касательной:
   • Уравнение будет иметь вид: y = -16/3 * x + 7/6.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = x^(-1/3) в точке x = 1/8 имеет вид y = -16/3 * x + 7/6.